物理学ミニマム（電磁気学）2

定義6.30
電磁場のエネルギー・運動量テンソル

時間空間成分の 倍（ ）をポインティングベクトルといい、
空間空間成分をマクスウェルの応力テンソル（ ）という。

注6.31

ポインティングベクトルは次のように書ける。

応力テンソルは次のように書ける。

注6.32
エネルギー・運動量テンソルは通常のエネルギー（ハミルトニアン）を拡張したものである。

ここで、 。
普通の古典力学では時間を特別扱いするが、時間と空間を同等に扱ったものである。

ただし、正確には上記の定義に、「適当な全微分」（ ）を加え、
電荷がないときのマクスウェルの式（ ）を使って整理した。
このテンソルは各点で定義された関数であるが、物理的に意味のある量は、
それを空間で積分して出す。
そのとき、「全微分」はあってもなくても結果に違いが出ない。
そこで、テンソルが対称になるよう加えたのである。

例6.33
応力テンソルを使って、距離 離れた2つの荷電粒子（ と ）の間に働く力を計算する。
（これは、系6.21、例6.23を見れば、 とわかる。）

2つの粒子の中間に、粒子間の直線に垂直な平面を考える。
応力テンソルが名前の通り応力テンソルなら、

となる。（積分は平面上で。）

を平面上の各点で出し、積分すると、正しい値になる。
これは、「それぞれの荷電粒子を含む空間が押し合っている」ということである。

定理6.34

（証明）
計算するのみ。□

定義6.35　電磁場の運動量

これは、エネルギー とあわせてベクトルになるので、
相対論の一般論から運動量と考えられる。

定理6.36
電磁場において（物質がない場合）、

（エネルギーは を体積積分したもの
はその体積の表面の面素を表すベクトル）

（証明）
定理6.34より、 。
これを体積積分する。□

注6.37
定理6.36で言っていることは、ポインティングベクトルが「エネルギーの流れ」
ということだが、定義6.35で定義した運動量と定数倍 の違いしかない。
これは光においては「エネルギー = 運動量 x c」を示唆している。

注6.38
定理6.36と同様に

右辺は「運動量の時間微分」に等しいのだから「力」と考えられる。
すなわち、 を応力テンソルとよぶのは、もっともらしい。

定義6.39
ポテンシャルにはゲージ不変性による不定性があるのだった（定理6.8）。
その不定性を利用して、 とする。
（あるいは「不定性を減らすために条件をつける」とも言える。）
これをローレンツゲージとよぶ。
この条件は3次元の量で書くと、 。

定理6.40　波動方程式
物質がない場合、ポテンシャルはローレンツゲージで以下を満たす。

これは書きなすと、 。

（証明）
に を代入し、
を使う。□

定理6.41　放射ゲージ
ローレンツゲージの中でさらに とできる。

（証明）
ローレンツゲージで があったとする。
これは を満たす。
そこで、 のように を選び、

とする。□

注6.42　放射ゲージでの波動方程式

定理6.42　平面波
放射ゲージの波動方程式に以下の解がある。

ただし、 、 は定数3次元ベクトルで進行方向に垂直。

（証明）
波動方程式を満たすことは、直接確かめられる。
に代入すると、 。□

系6.43


特に、これは進行方向に対し横にゆれる横波である。
横波なので、独立なものが2つある。

注0.5
研究者としてすばらしい業績をあげながら、物理の様々な分野で名著とよばれる
教科書が書けたランダウ先生（とリフシッツ先生）は天才だったんだとしみじみ思う。
しかし、それはそれとして、砂川先生の本もすばらしいと思う。

参考書：
場の古典論　　ランダウ・リフシッツ
理論電磁気学　砂川重信