物理学ミニマム（統計力学）2
定義8.26 相転移
系がある状態から別の状態に移ることを相転移という。
ここで言う「状態」を相という。
相転移は、温度の関数である熱力学的な量（やその微分）に飛びが
現れることで特徴付けられる。
例8.27
水が氷になるのは、液相から固相への相転移である。
体積を温度の関数とすると、相転移のところで飛びが現れる。
（体積は、ギブスの自由エネルギーの温度に関する1階微分なので
1次の相転移と言われる。）
一般に、原子は小さな磁石と考えられるが、それがそろったものが（普通の）磁石である。
この磁石の温度を上げていくと原子の（スピンの）向きがバラバラになり、磁石でなくなる。
また、高温で磁石でないものも、温度を下げると、（磁石になる物質は）磁石になる。
これも相転移である。
例8.28 磁石の現象論
原子を小さな磁石と考える。
それらは、外場 があればそちらの方向にそろってくるだろう。
しかし、温度が有限なら全部がそろうのではなく、一定の割合でそろうはずである。
その割合を とすると、
（
とする）
のようになっていることがあるだろう。（ は小さいとする。）
ところで、外場によってそろいだした原子は、それ自体が磁石なので、
まわりに磁場（ とする）を及ぼすはずである。
そのように作り出される磁場は、 に比例するだろうから、
（
は適当な定数）
と考える。すると、
という式が導かれる。（純然たる外場を とした。）
すると、上の式の右辺第2項も無視すると、
一般に、 は温度の関数だろうから、
で
を定義すると、
よって、
となって、 で何か大変なこと（相転移）が起こっていることがわかる。
また、 とすると、
しかるに、
と考えられるので、 では
が物理的な解になる。
つまり、外場がなくても原子がそろってしまう。
ものすごくシンプルで実験値にはあまりあわないらしいが、「相転移現象の本質」と
考えられるのだろうか、多くの教科書で紹介される。（私は専門外。）
ランダウは自由エネルギー（など？）を単純な多項式で
などと書いて業績を上げたらしい。
その影響があるのかどうかわからないが、弱い相互作用の理論である
ワインバーグ・サラム理論の元ネタであるヒグス機構（自発的対称性の破れの仕掛け）は
これにそっくりである。
定義8.29 ハイゼンベルグ模型
原子（分子）が格子状に並び、そのスピン同士と外場との相互作用を表すハミルトニアンが
次のようなもの。
ここで が
番目の原子のスピンを表し、第1項の和は「相互作用するペア」で取る。
は外場である。
注8.30
相互作用するペアをどの範囲にするか、とか、方向によって を変えるとか、
バリエーションはいくつも考えられる。
どの場合も解くのは難しいらしく、多くの近似法がある。
定義8.31 平均場近似
ハイゼンベルグ模型などを扱う際に、個別のもの（スピンなど）を平均値に置き換え、
「それが無矛盾」という条件で平均値を出す方法。分子場近似ともいう。
例8.32 ハイゼンベルグ模型の平均場近似
ハイゼンベルグ模型を次のように近似する。
ここで、バーは統計力学的な平均を表す。
また、1つの原子は 個のものとだけ相互作用するとする。
他の原子の影響はそれだけになるので、原子1つのハミルトニアンを考えることができ、
。
となる。
さらに、外場が 軸方向と考えているので、
も
成分のみを持つと考えられる。
原子のスピンの 成分を
とすると
このハミルトニアンで計算して が出せれば（一応）矛盾がない。
すなわち、 とおくと、
計算すると、
ここで
とすると、
ここで、 の場合を考える。
「 のとき
」を使うと、
となって、
が言える。
例8.33 1次元イジング模型
ハイゼンベルグ模型を簡略化したものにイジング模型がある。
スピンを整数（）とし相互作用をそれらの積で表すものである。
これはスピン を考えていることに相当するが、
量子力学的な のような相互作用は考えないということである。
1次元イジング模型のハミルトニアンは
である。
ただし、（簡単のため）端と端はつなげて、 とする。
まず、 の場合を考える。
すると、
これは、行列 を考えると、
と書ける。
トレースなので、対角化して計算してもよく、
となる。
外場がある場合は、 を利用し、
とすると、
この行列の固有値は で、
となる。
しかし、 が大きいときは、小さい方の固有値は無視できる。
そのとき、
注0.8
統計力学を（ちょっぴり）勉強しなおそうと思って鈴増先生のノートを
引っ張り出して読んだら、とてもよくできているので感動した。
確か、テストは「1次元イジング模型を解け」だったような気がする。
「んなもん、覚えてるかい」と思いつつやってみたらできた（と思う）。
そして「俺偉いな」と思った（ような気がする）。
遠い昔の事だから、まったくの勘違いかもしれない。
でも、今見てみると、一度聞いたらできて当然だよね。
