テストLie代数

Lie代数の定義は。
　・L1、L2、L3
　
線形Lie代数とは。
　
Lie代数の微分とは。
　
随伴表現とは。

テスト位相

位相とは。
　・3つの条件。
　
開集合系の基底とは。
　
部分集合の集合が開集合系の基底になるための必要十分条件は。
　・すでにある開集合系の基底になる場合。
　・そこから開集合系を作る場合。
　
開集合系の準基底とは。
　
部分集合の集合が開集合系の準基底になるための必要十分条件は。
　
開核とは。
　
近傍とは。
　
近傍系とは。
　
近傍系の性質は。
　
第2可算公理とは。
　
第1可算公理とは。
　

メモ

問：対称群で (1 2) は数字を動かすのか、そのレーンのものを動かすのか。
答：どっちでも同じ。ただし、数字を動かすなら下の列、レーンのものを動かすなら上の列。

下の列の 1 と 2 を入れ替えるのと、上の列の 5 と 2 を入れ替えるのは同じ。

アティマク備忘録

を含む のイデアルと のイデアルの間には1対1の対応がある。

環 について以下は同値である。
　・ は体である。
　・ のイデアルは と のみである。
　・ から零でない環 へのすべての順同型写像は単射である。

すべての環 は少なくとも1つの極大イデアルを持つ。

を のイデアルとすると、 を含む の極大イデアルが存在する。

のすべての非単元はある極大イデアルに含まれる。

イデアル に対し、すべての が で単元となるなら、
は局所環となり、 はその極大イデアルである。

極大イデアル に対し、 のすべての元が で単元となるなら、
は局所環となり、 はその極大イデアルである。

が既約多項式のとき、
は素イデアルである。

単項イデアル整域においては、零でないすべての素イデアルは極大イデアルである。

環 におけるすべてのベキ零元の集合 はイデアルであり、
は と異なるベキ零元を持たない。

のベキ零元根基は のすべての素イデアルの共通集合である。

がジャコブソン根基の元
　　
すべての に対して は の単元である。

を のイデアル、 とすると次が成り立つ。
　 のとき と が互いに素なら 。
　 が全射 のとき と が互いに素。
　 が単射 。

を素イデアルとし、 とする。
すると、ある に対して となる。

をイデアルとし、 が素イデアルとし、 とする。
すると、ある に対して となる。
特に、 なら、ある に対して となる。

イデアル商　

零化イデアル　

イデアル の根基は を含んでいる素イデアルすべての共通集合である。

零因子の集合

と が互いに素ならば、 と が互いに素である。

縮約イデアルの集合と拡大イデアルの集合には全単射の対応がある。

以上、第1章。

マリツェフ備忘録

行列
の余因子行列を とすると 。

固有多項式 。
固有多項式の 次の項の係数は 。
。

Hamilton-Cayley の定理　　

相似な行列は同一の最小多項式を持つ。

細胞対角行列を と書く。

線型空間
ある順序に並べられた でないベクトルの系 が1次従属ならば、
それらの中の少なくとも1つは、それに先行するベクトルの1次結合として表される。
逆に、このベクトルの列の中の1つが、それに先行するベクトルの
1次結合として表されるなら、この系は1次従属。

線型空間 の生成元の系の中から、この空間の基底を選び出すことができる。

零空間でない有限次元線型空間の基底は、すべて同一有限個数のベクトルからなる。
この個数を次元とよぶ。

有限次元の空間 における任意の1次独立なベクトルの系に対し、
適当なベクトルを補い、 の基底にすることができる。

次元線型空の 個のベクトルからなる系は1次従属。
この空間の の個の1次独立なベクトルは基底をなす。

同一定数体上の2つの線型空間が同一の次元を持つなら、それらは同型である。

基底ベクトルを一定の順序に配列したものを座標系という。
座標系が決まれば、各ベクトルの座標が決まる。
マリツェフではそれを行ベクトルで表す。
この行ベクトルの作る線型空間はもとの線型空間と同型である。

の座標を などと表すと、
　
なる座標変換に対し、
　 。

の部分空間 、 に対し、
。

において、
零ベクトルの分解が一意的なら、この和は直和である。

空間 の2つの部分空間の和が直和になるための必要十分条件は
これらの交わりが零空間であることである。

1次変換
1次変換 とその行列 の関係は、基底 に対して以下のよう。
　
をベクトルとし、その行ベクトルを のように書くと、
　 。

行列 で表される座標変換に対して、行列は の変換を受ける。

線型空間の線形部分空間の1次変換に関する像と原像は線形部分空間となる。

1次変換の階数と退化次数の和は空間の次元に等しい。

1次変換が正則になる必要十分条件は退化次数が となることである。
1次変換が正則になる必要十分条件は階数が空間の次元に等しいことである。

1次変換の階数はその行列の階数に等しい。

次元線型空間の1次変換が 個の1次独立な固有ベクトルを持つならば、
これらを座標系として採用し、変換の行列を対角形にすることができる。
逆に、変換の行列がある座標系において対角形をとるならば、その基底ベクトルは
固有ベクトルである。

1次変換の異なる固有値に属する固有ベクトルは1次独立である。

Jordan細胞の最小多項式は、その固有多項式に等しい。
Jordan細胞はいかなる座標系においても分解しない。

任意の1次変換の行列はJordan標準形にすることができる。

変換 の相異なる根 に属するベクトル の和
が不変部分空間 に含まれるなら、
各 が別々に に含まれる。

もし、1次変換 の行列をJordan標準形にすることができるならば、
空間 は の根部分空間の直和に分解し、
各根部分空間は、その固有値を持つJordan細胞に対応する部分空間の直和になる。

以上、第3章まで。

今野微分幾何学備忘録

多様体とベクトル束
ハウスドルフ空間で座標近傍系を持つものを（微分可能）多様体という。

上の実数値 級関数全体の集合を という。

に対して なら、
　
が 級関数であるとき、 を 級写像という。

が全単射で 級のとき、微分同相写像という。

多様体 の開部分集合は多様体であり、 の開部分多様体という。

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オラ、明日からがんばればいいや。