（ ） ： 代数的集合 ： 無限体 ： イデアル主張1 主張2 主張3 主張4 [tex:V(S)\hspace{3}\cup\hspace{3}V(T)\hspace{3}=\hspace{3}V(\hspace{3}\cap\hspace{3})\hspace{3}=\hspace{3}V(\{FG\hspace{3}|\hspace{3}F\hspace{3}\in\hspace{3}S,\hspace{6}G\hsp…

ここでは、 を素元分解整域とする。主張1 を係数とする多項式 が で割り切れるなら、 の各係数が で割り切れる。（証明） そうだよね。□主張2 を係数とする多項式の環 で規約な多項式は 係数を の商体 に拡張した多項式の環 でも規約である。（証明） が既約…

のイデアル を考える。(1) （証明） を順々に で割っていくと、余りは 。□ (2) は極大イデアル。（証明） とすると、 。 したがって、 [tex:M\hspace{3}+\hspace{3}] が単元を含んでしまう。□

今日考えた事（自明っぽい） を （ は体） の極大イデアルとすると、 （証明） に対し とすると となるので 。 で とすると、 。□そんなわけで、次が言える。体 を係数とする定数でない多項式 に対して を含む体 で が において1次の積に分解するものがある…

§19 デデキント環と加群この節では分数イデアルをイデアルとよぶ。命題19.1 イデアル が -加群として同型であることと、 なる があることは同値。命題19.2 が可逆であることと -射影的であることは同値で、 このとき、 は有限生成なイデアルである。以下、環…

§15 加群 命題15.1 -加群の完全系列 から引き起こされる は完全系列をなす。 もし、分解型なら も分解型完全系列。命題15.2 -加群の完全系列 から引き起こされる は完全系列をなす。 もし、分解型なら も分解型完全系列。命題15.3 命題15.4 命題15.5 定理15.…

元ネタ：現代代数学 服部昭§9環 命題9.1 を単位元をもつ環とする。 の単数（可逆元）は零因子ではない。命題9.2 単位元をもつ可換環のイデアル について なら 。命題9.3 を の真部分集合、 を のイデアルで の元を含まないものとすると、 を含み の元を含ま…

元ネタ：現代代数学 服部昭§6正規列 命題6.1 ネタ―的な -群 -群 においてつぎは同値である。 1) 極大条件 2) 昇鎖律 3) 基底律命題6.2 1) ネタ―的 -群の -部分群、剰余群はネタ―的。 2) -群の完全系列 において、 がネタ―的であることと 、 がともにネタ―的…

元ネタ：現代代数学 服部昭§1半群 命題1.1 半群において一般の結合法則が成り立つ。命題1.2 単位元は存在すればただひとつに定まる。命題1.3 可換半群において積は順序に無関係に定まる。命題1.4 逆元は存在すればただひとつに定まる。命題1.5 と が同型であ…

元ネタ：ネット http://www.asahi-net.or.jp/~zn3y-ngi/YNxv214.html#8-1 http://excel.usefulhp.com/excel-macro/excel-macro37.html https://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/office/ff193220.aspx ほか。 ありがとうございます。問題 問1 変数の宣言を…

元ネタ：ネット http://excelvba.pc-users.net/index.html http://span.jp/office2010_manual/excel_vba/basic/program.html ありがとうございます。問題 問1 VBAエディターの起動方法を述べよ。 答1 問2 標準モジュールの追加方法を述べよ。 答2 問3 サブモ…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健問題 問1 を射影多様体とする。 上の有理関数 が を満たすとする。 このとき、 が定義する有理写像と射の定義を述べよ。 答1 問2 環の整拡大の定義を述べよ。 答2 問3 以下を示せ。 ： アフィン閉部分多様体 ： の斉次イデアル …

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 ちょっと補充的にやるつもりだったのにガッツリはまった。 リーマン−ロッホまではやめられないだろう。 楽しいは楽しいが早く圏論に戻りたくもある。問題 問1 次の用語の定義を述べよ。 斉次座標環（）、斉次元、関数体（） 有…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 今日の標語： 射影空間から逃げるな。射影空間はアフィン空間のおまけではない。問題 問1 以下の定義を述べよ。 射影空間（ ） 斉次座標（ ） 非斉次座標（ ） に対する射影的代数的集合（ ） のイデアル（ ） 答1 問2 斉次イデ…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健問題 問1 非特異の定義を述べよ。 答1 問2 は の閉部分多様体 における の極大イデアルを 、 の極大イデアルを とする。 、 を 線形空間とみる。 この道具立てで以下を示せ。(0) (1) は を基底とする 次元 線形空間。 ただし、 …

元ネタ：代数曲線入門 梶原健（ここを読む人は買うべし） 問題 問1 以下の定義を述べよ。 体の拡大、代数的独立、代数上超越、超越次数 （超越次数は のように書く。） 答1 問2 以下を示せ。 のとき、 上超越的な元 が 上代数的なら は 上代数的である。 答2…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 問題 問1 以下の用語の定義を述べよ。 （アフィン）（閉部分）多様体、超曲面、座標環 多項式関数、多項式写像、同型 答1 問2 引き戻しの定義を述べよ。 答2 問3 （多項式写像）、 （ 準同型写像） があったする。このとき、 と…

元ネタ：代数曲線 梶原健 問題 問1 以下を示せ。 を整域 の部分環とする。 とすると、任意の はモニックな 係数多項式の根である。 答1 問2 以下を示せ。 を整域 の部分環とする。 とすると、 が体であることと が体であることは同値である。 答2 問3 以下を…

元ネタ：代数曲線 梶原健 問題 問1 以下を示せ。 既約多項式 が を割り切るなら、 は または を割り切る。 答1 問2 以下を示せ。 の世界で既約多項式が素元であるとすると、 既約多項式 が を 割り切るとき、 は または を割り切る。 答2 問3 以下を示せ。 …

元ネタ：代数曲線入門 梶原健問題 問1 ヒルベルトの基底定理を述べよ。 答1 問2 ヒルベルトの基底定理を証明せよ。 答2 問3 以下を示せ。 の代数的集合は、有限個の多項式の共通零点に等しい。 答3 問4 以下を示せ。 がネーター環 イデアルが極大条件を満た…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 問題 問1 答1 問2 [tex:V*1\hspace{3}=\hspace{3}A^n(k),\hspace{15}V(k\[X_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n\])\hspace{3}=\hspace{3}\emptyset] 答2 問3 [tex:V(S)\hspace{3}=\hspace{3}V()] （ [tex:] は が生成…

息子の出題。 解答は主に息子が言ってたものを記録したものだが、記録が正確である保証はない。 問1 位相空間 、 と連続写像 があったとする。 このとき、 の開集合 に対し、 と定義すると、これは層になっていることを示せ。 答： 前層であることはわかる。…

元ネタ：代数曲線入門第6章 梶原健 命題 体でない整域 に対して次の(1)〜(3)は同値： (1) はネーター局所環で、極大イデアルは単項。 (2) ある規約元 によって任意の元 が の形に一意的に書かれる。 (3) は局所環かつPID。 定義 離散付値 整域 が上の命題の…

直行多幸式。 元ネタ：特殊関数 第2章 犬井鉄郎 有限区間の一般論 に対し、 とおくと、これは n 次多項式になる。 任意の n - 1 次多項式 に対し、 となる。したがって、特に、 である。（左辺を真ん中の式で定義した。） のときは となるが、これは の規格…

いきなり、どうした？みたいな。 量子力学を復習してちょっとそんな気持ちになった。 元ネタ：特殊関数 第1章 犬井鉄郎 定義 ガンマ関数 部分積分をすると 特に、 。 Gaussの公式 Weierstrassの公式 ただし、 。 これから、 に極を持つことがわかる。 定義 …

元ネタ：代数曲線入門第1章 梶原健 代数の知識が微妙で、いろいろもやもやすることが多い。 だから、教科書（アティマク？）をちゃんと通読しよう とも思うのだが、それはそれで大事（オオゴト）だ。 で、なんとなく買った上記の本の第1章は、私がもやもやし…

命題 すべての に極限があるなら、 関手 が考えられる。 （コメント） 私の日本語は奥歯にものがはさまったような言い方である。 原文は「a functor」とあり、補足説明に 「a limit」を「the limit」にするためには なんらかの選択が必要である、とある。 元…

、 、 、 、 、 、 、 、 、 は完備かつ余完備である。 命題 は完備かつ余完備である。 （証明） 完備性はすでにみた。 余完備性は、余積とコイコライザの存在から言える。 の余積は直和、コイコライザは は から生成される同値関係で を割ったもので、 すな…

特に言わない限り、扱う圏はローカルに小さいとする。 定理 （証明的な何か） リール先生の証明は「考えればわかるよね」的で、たぶんこの感覚をつかむことが 重要なんだろうと思う。 が、別の言葉で言えないかとも思った。ここまでの結果を使えば、 最期の…

定義 極限の保存・反映・創出 、 があるとする。 ・ は極限を保存する。 が極限錘を持つなら、それを でうつしたものも極限錘になる。 ・ は極限を反映する。 の錘を でうつしたものが極限錘なら、もとの錘も極限錘である。 ・ は極限を創出する。 が極限錘…