Lie代数の定義は。 ・L1、L2、L3 線形Lie代数とは。 Lie代数の微分とは。 随伴表現とは。

位相とは。 ・3つの条件。 開集合系の基底とは。 部分集合の集合が開集合系の基底になるための必要十分条件は。 ・すでにある開集合系の基底になる場合。 ・そこから開集合系を作る場合。 開集合系の準基底とは。 部分集合の集合が開集合系の準基底になるた…

問：対称群で (1 2) は数字を動かすのか、そのレーンのものを動かすのか。 答：どっちでも同じ。ただし、数字を動かすなら下の列、レーンのものを動かすなら上の列。下の列の 1 と 2 を入れ替えるのと、上の列の 5 と 2 を入れ替えるのは同じ。

を含む のイデアルと のイデアルの間には1対1の対応がある。環 について以下は同値である。 ・ は体である。 ・ のイデアルは と のみである。 ・ から零でない環 へのすべての順同型写像は単射である。すべての環 は少なくとも1つの極大イデアルを持つ。 を…

行列 の余因子行列を とすると 。固有多項式 。 固有多項式の 次の項の係数は 。 。Hamilton-Cayley の定理 相似な行列は同一の最小多項式を持つ。細胞対角行列を と書く。 線型空間 ある順序に並べられた でないベクトルの系 が1次従属ならば、 それらの中…

多様体とベクトル束 ハウスドルフ空間で座標近傍系を持つものを（微分可能）多様体という。 上の実数値 級関数全体の集合を という。 に対して なら、 が 級関数であるとき、 を 級写像という。 が全単射で 級のとき、微分同相写像という。多様体 の開部分集…

オラ、明日からがんばればいいや。

元ネタ：微分幾何学 今野宏第2章 ベクトル束の幾何2.1 ベクトル束の接続接続、共変微分の定義を述べよ。 （ ） を説明せよ。

元ネタ：微分幾何学 今野宏第1章 多様体とベクトル束1.1 微分可能多様体 級多様体の定義を述べよ。 の定義を述べよ。微分同相写像の定義を述べよ。接ベクトルの定義を述べよ。 の基底を1つ挙げよ。 とは何か。 の微分とは何か。 の正則点とは何か。 の正則値…

（ ） ： 代数的集合 ： 無限体 ： イデアル主張1 主張2 主張3 主張4 [tex:V(S)\hspace{3}\cup\hspace{3}V(T)\hspace{3}=\hspace{3}V(\hspace{3}\cap\hspace{3})\hspace{3}=\hspace{3}V(\{FG\hspace{3}|\hspace{3}F\hspace{3}\in\hspace{3}S,\hspace{6}G\hsp…

ここでは、 を素元分解整域とする。主張1 を係数とする多項式 が で割り切れるなら、 の各係数が で割り切れる。（証明） そうだよね。□主張2 を係数とする多項式の環 で規約な多項式は 係数を の商体 に拡張した多項式の環 でも規約である。（証明） が既約…

のイデアル を考える。(1) （証明） を順々に で割っていくと、余りは 。□ (2) は極大イデアル。（証明） とすると、 。 したがって、 [tex:M\hspace{3}+\hspace{3}] が単元を含んでしまう。□

今日考えた事（自明っぽい） を （ は体） の極大イデアルとすると、 （証明） に対し とすると となるので 。 で とすると、 。□そんなわけで、次が言える。体 を係数とする定数でない多項式 に対して を含む体 で が において1次の積に分解するものがある…

§19 デデキント環と加群この節では分数イデアルをイデアルとよぶ。命題19.1 イデアル が -加群として同型であることと、 なる があることは同値。命題19.2 が可逆であることと -射影的であることは同値で、 このとき、 は有限生成なイデアルである。以下、環…

§15 加群 命題15.1 -加群の完全系列 から引き起こされる は完全系列をなす。 もし、分解型なら も分解型完全系列。命題15.2 -加群の完全系列 から引き起こされる は完全系列をなす。 もし、分解型なら も分解型完全系列。命題15.3 命題15.4 命題15.5 定理15.…

元ネタ：現代代数学 服部昭§9環 命題9.1 を単位元をもつ環とする。 の単数（可逆元）は零因子ではない。命題9.2 単位元をもつ可換環のイデアル について なら 。命題9.3 を の真部分集合、 を のイデアルで の元を含まないものとすると、 を含み の元を含ま…

元ネタ：現代代数学 服部昭§6正規列 命題6.1 ネタ―的な -群 -群 においてつぎは同値である。 1) 極大条件 2) 昇鎖律 3) 基底律命題6.2 1) ネタ―的 -群の -部分群、剰余群はネタ―的。 2) -群の完全系列 において、 がネタ―的であることと 、 がともにネタ―的…

元ネタ：現代代数学 服部昭§1半群 命題1.1 半群において一般の結合法則が成り立つ。命題1.2 単位元は存在すればただひとつに定まる。命題1.3 可換半群において積は順序に無関係に定まる。命題1.4 逆元は存在すればただひとつに定まる。命題1.5 と が同型であ…

元ネタ：ネット http://www.asahi-net.or.jp/~zn3y-ngi/YNxv214.html#8-1 http://excel.usefulhp.com/excel-macro/excel-macro37.html https://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/office/ff193220.aspx ほか。 ありがとうございます。問題 問1 変数の宣言を…

元ネタ：ネット http://excelvba.pc-users.net/index.html http://span.jp/office2010_manual/excel_vba/basic/program.html ありがとうございます。問題 問1 VBAエディターの起動方法を述べよ。 答1 問2 標準モジュールの追加方法を述べよ。 答2 問3 サブモ…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健問題 問1 を射影多様体とする。 上の有理関数 が を満たすとする。 このとき、 が定義する有理写像と射の定義を述べよ。 答1 問2 環の整拡大の定義を述べよ。 答2 問3 以下を示せ。 ： アフィン閉部分多様体 ： の斉次イデアル …

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 ちょっと補充的にやるつもりだったのにガッツリはまった。 リーマン−ロッホまではやめられないだろう。 楽しいは楽しいが早く圏論に戻りたくもある。問題 問1 次の用語の定義を述べよ。 斉次座標環（）、斉次元、関数体（） 有…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 今日の標語： 射影空間から逃げるな。射影空間はアフィン空間のおまけではない。問題 問1 以下の定義を述べよ。 射影空間（ ） 斉次座標（ ） 非斉次座標（ ） に対する射影的代数的集合（ ） のイデアル（ ） 答1 問2 斉次イデ…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健問題 問1 非特異の定義を述べよ。 答1 問2 は の閉部分多様体 における の極大イデアルを 、 の極大イデアルを とする。 、 を 線形空間とみる。 この道具立てで以下を示せ。(0) (1) は を基底とする 次元 線形空間。 ただし、 …

元ネタ：代数曲線入門 梶原健（ここを読む人は買うべし） 問題 問1 以下の定義を述べよ。 体の拡大、代数的独立、代数上超越、超越次数 （超越次数は のように書く。） 答1 問2 以下を示せ。 のとき、 上超越的な元 が 上代数的なら は 上代数的である。 答2…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 問題 問1 以下の用語の定義を述べよ。 （アフィン）（閉部分）多様体、超曲面、座標環 多項式関数、多項式写像、同型 答1 問2 引き戻しの定義を述べよ。 答2 問3 （多項式写像）、 （ 準同型写像） があったする。このとき、 と…

元ネタ：代数曲線 梶原健 問題 問1 以下を示せ。 を整域 の部分環とする。 とすると、任意の はモニックな 係数多項式の根である。 答1 問2 以下を示せ。 を整域 の部分環とする。 とすると、 が体であることと が体であることは同値である。 答2 問3 以下を…

元ネタ：代数曲線 梶原健 問題 問1 以下を示せ。 既約多項式 が を割り切るなら、 は または を割り切る。 答1 問2 以下を示せ。 の世界で既約多項式が素元であるとすると、 既約多項式 が を 割り切るとき、 は または を割り切る。 答2 問3 以下を示せ。 …

元ネタ：代数曲線入門 梶原健問題 問1 ヒルベルトの基底定理を述べよ。 答1 問2 ヒルベルトの基底定理を証明せよ。 答2 問3 以下を示せ。 の代数的集合は、有限個の多項式の共通零点に等しい。 答3 問4 以下を示せ。 がネーター環 イデアルが極大条件を満た…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 問題 問1 答1 問2 [tex:V*1\hspace{3}=\hspace{3}A^n(k),\hspace{15}V(k\[X_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n\])\hspace{3}=\hspace{3}\emptyset] 答2 問3 [tex:V(S)\hspace{3}=\hspace{3}V()] （ [tex:] は が生成…