アティマク備忘録

を含む のイデアルと のイデアルの間には1対1の対応がある。

環 について以下は同値である。
　・ は体である。
　・ のイデアルは と のみである。
　・ から零でない環 へのすべての順同型写像は単射である。

すべての環 は少なくとも1つの極大イデアルを持つ。

を のイデアルとすると、 を含む の極大イデアルが存在する。

のすべての非単元はある極大イデアルに含まれる。

イデアル に対し、すべての が で単元となるなら、
は局所環となり、 はその極大イデアルである。

極大イデアル に対し、 のすべての元が で単元となるなら、
は局所環となり、 はその極大イデアルである。

が既約多項式のとき、
は素イデアルである。

単項イデアル整域においては、零でないすべての素イデアルは極大イデアルである。

環 におけるすべてのベキ零元の集合 はイデアルであり、
は と異なるベキ零元を持たない。

のベキ零元根基は のすべての素イデアルの共通集合である。

がジャコブソン根基の元
　　
すべての に対して は の単元である。

を のイデアル、 とすると次が成り立つ。
　 のとき と が互いに素なら 。
　 が全射 のとき と が互いに素。
　 が単射 。

を素イデアルとし、 とする。
すると、ある に対して となる。

をイデアルとし、 が素イデアルとし、 とする。
すると、ある に対して となる。
特に、 なら、ある に対して となる。

イデアル商　

零化イデアル　

イデアル の根基は を含んでいる素イデアルすべての共通集合である。

零因子の集合

と が互いに素ならば、 と が互いに素である。

縮約イデアルの集合と拡大イデアルの集合には全単射の対応がある。

以上、第1章。