元ネタ：代数曲線入門第1章 梶原健 代数の知識が微妙で、いろいろもやもやすることが多い。 だから、教科書（アティマク？）をちゃんと通読しよう とも思うのだが、それはそれで大事（オオゴト）だ。 で、なんとなく買った上記の本の第1章は、私がもやもやし…

命題 すべての に極限があるなら、 関手 が考えられる。 （コメント） 私の日本語は奥歯にものがはさまったような言い方である。 原文は「a functor」とあり、補足説明に 「a limit」を「the limit」にするためには なんらかの選択が必要である、とある。 元…

、 、 、 、 、 、 、 、 、 は完備かつ余完備である。 命題 は完備かつ余完備である。 （証明） 完備性はすでにみた。 余完備性は、余積とコイコライザの存在から言える。 の余積は直和、コイコライザは は から生成される同値関係で を割ったもので、 すな…

特に言わない限り、扱う圏はローカルに小さいとする。 定理 （証明的な何か） リール先生の証明は「考えればわかるよね」的で、たぶんこの感覚をつかむことが 重要なんだろうと思う。 が、別の言葉で言えないかとも思った。ここまでの結果を使えば、 最期の…

定義 極限の保存・反映・創出 、 があるとする。 ・ は極限を保存する。 が極限錘を持つなら、それを でうつしたものも極限錘になる。 ・ は極限を反映する。 の錘を でうつしたものが極限錘なら、もとの錘も極限錘である。 ・ は極限を創出する。 が極限錘…

定義 完備・余完備 すべての小さい図式が極限を持つときその圏は完備という。 すべての小さい図式が余極限を持つときその圏は余完備という。 ちなみに、complete、cocompleteである。 余もcoも発音が楽しい。 命題（教科書では定義） では である。 （ は元…

予想を遥かに上回る遅さで進んでいる。 やっと、極限、余極限。 定義 に対し を 「 のすべての対象を に、すべての射を にうつす関手」と考える。 （例によって、記号の濫用だと思うが、数学っぽくてかっこいい。 そしてそれを理解できる自分はすごいなと思…

定義 要素圏 に対し、要素圏 を次のように定義する。 (1) 対象は ただし 、 。 (2) 射 は 、 となる 。 反変関手に対しては、 に対し、要素圏 を次のように定義する。 (1) 対象は ただし 、 。 (2) 射 は 、 となる 。 一般に を決めれば、当然 となる も決…

補題（p62の系） の終対象のみで張られる充満な部分圏は、空であるか可縮な亜群である。 特に2つの終対象はユニークに同型である。 可縮な亜群とは、「対象が1つしかない圏に同値な圏」であり、あるいは、 「すべてのhom集合がただ1つしか元を持たない圏」の…

定義 ローカルに小さい圏 対象間の射の集合が小さいとき、その圏はローカルに小さいという。 （あるいは、「局所的に小さい」とか「局所小」とか？ マックレーン（日本語版）には「小さいhom集合を持つ圏」とある。まんまである。） 定義 表現 ローカルに小…

圏論では「本当に同じ」以外に、「同型」「同値」の概念が重要となる。 ちなみに、isomorphismは名詞、isomorphicは形容詞だが、 日本語ではしばしば両方とも「同型」と訳される。 補題 関手は同型を保存する。 関手は、モノやエピを保存しないが、分裂モノ…