元ネタ：代数曲線入門 梶原健問題 問1 を射影多様体とする。 上の有理関数 が を満たすとする。 このとき、 が定義する有理写像と射の定義を述べよ。 答1 問2 環の整拡大の定義を述べよ。 答2 問3 以下を示せ。 ： アフィン閉部分多様体 ： の斉次イデアル …

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 ちょっと補充的にやるつもりだったのにガッツリはまった。 リーマン−ロッホまではやめられないだろう。 楽しいは楽しいが早く圏論に戻りたくもある。問題 問1 次の用語の定義を述べよ。 斉次座標環（）、斉次元、関数体（） 有…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 今日の標語： 射影空間から逃げるな。射影空間はアフィン空間のおまけではない。問題 問1 以下の定義を述べよ。 射影空間（ ） 斉次座標（ ） 非斉次座標（ ） に対する射影的代数的集合（ ） のイデアル（ ） 答1 問2 斉次イデ…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健問題 問1 非特異の定義を述べよ。 答1 問2 は の閉部分多様体 における の極大イデアルを 、 の極大イデアルを とする。 、 を 線形空間とみる。 この道具立てで以下を示せ。(0) (1) は を基底とする 次元 線形空間。 ただし、 …

元ネタ：代数曲線入門 梶原健（ここを読む人は買うべし） 問題 問1 以下の定義を述べよ。 体の拡大、代数的独立、代数上超越、超越次数 （超越次数は のように書く。） 答1 問2 以下を示せ。 のとき、 上超越的な元 が 上代数的なら は 上代数的である。 答2…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 問題 問1 以下の用語の定義を述べよ。 （アフィン）（閉部分）多様体、超曲面、座標環 多項式関数、多項式写像、同型 答1 問2 引き戻しの定義を述べよ。 答2 問3 （多項式写像）、 （ 準同型写像） があったする。このとき、 と…

元ネタ：代数曲線 梶原健 問題 問1 以下を示せ。 を整域 の部分環とする。 とすると、任意の はモニックな 係数多項式の根である。 答1 問2 以下を示せ。 を整域 の部分環とする。 とすると、 が体であることと が体であることは同値である。 答2 問3 以下を…

元ネタ：代数曲線 梶原健 問題 問1 以下を示せ。 既約多項式 が を割り切るなら、 は または を割り切る。 答1 問2 以下を示せ。 の世界で既約多項式が素元であるとすると、 既約多項式 が を 割り切るとき、 は または を割り切る。 答2 問3 以下を示せ。 …

元ネタ：代数曲線入門 梶原健問題 問1 ヒルベルトの基底定理を述べよ。 答1 問2 ヒルベルトの基底定理を証明せよ。 答2 問3 以下を示せ。 の代数的集合は、有限個の多項式の共通零点に等しい。 答3 問4 以下を示せ。 がネーター環 イデアルが極大条件を満た…

元ネタ：代数曲線入門 梶原健 問題 問1 答1 問2 [tex:V*1\hspace{3}=\hspace{3}A^n(k),\hspace{15}V(k\[X_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n\])\hspace{3}=\hspace{3}\emptyset] 答2 問3 [tex:V(S)\hspace{3}=\hspace{3}V()] （ [tex:] は が生成…

息子の出題。 解答は主に息子が言ってたものを記録したものだが、記録が正確である保証はない。 問1 位相空間 、 と連続写像 があったとする。 このとき、 の開集合 に対し、 と定義すると、これは層になっていることを示せ。 答： 前層であることはわかる。…

元ネタ：代数曲線入門第6章 梶原健 命題 体でない整域 に対して次の(1)〜(3)は同値： (1) はネーター局所環で、極大イデアルは単項。 (2) ある規約元 によって任意の元 が の形に一意的に書かれる。 (3) は局所環かつPID。 定義 離散付値 整域 が上の命題の…

直行多幸式。 元ネタ：特殊関数 第2章 犬井鉄郎 有限区間の一般論 に対し、 とおくと、これは n 次多項式になる。 任意の n - 1 次多項式 に対し、 となる。したがって、特に、 である。（左辺を真ん中の式で定義した。） のときは となるが、これは の規格…

いきなり、どうした？みたいな。 量子力学を復習してちょっとそんな気持ちになった。 元ネタ：特殊関数 第1章 犬井鉄郎 定義 ガンマ関数 部分積分をすると 特に、 。 Gaussの公式 Weierstrassの公式 ただし、 。 これから、 に極を持つことがわかる。 定義 …