物理学ミニマム（古典力学）1

§1　古典力学
定義1.1　物理系、力学系、外界
物理的な対象の集まりを物理系（あるいは、単に系）という。
特に、対象の座標のみに着目した場合、物理系を力学系ともいう。
物理系の外にあるものを外界（あるいは、外部）という。

例1.2　物理系の例
1) 1つの自由に動く質点（1つの自由粒子）。
2) 2つの自由に動く質点（2つの自由粒子）。
3) 質量のない、伸び縮みをしない棒でつながれた2つの質点。
4) 上端を固定された振り子。

注1.3
質点は大きさのない質量を持つ点である。
古典的力学の一般的な対象は質点の集まりと考えることができる。
ただし、質点の数が非常に大きい場合、多くの近似が行われる。
「質量のない、伸び縮みをしない棒」は、その存在自体が近似であるが、
そう考えることで「棒の物理的性質」を考察しないで済む。

注1.4
物理系と外界の区別は恣意的に行われる。

定義1.5　一般座標、一般速度
力学系を記述する変数を一般座標（あるいは、単に座標）という。
一般座標が時間の関数として明示されたとき、その力学系は「解かれた」という。
一般座標の数を自由度という。
一般座標の時間による1階微分を一般速度（あるいは、単に速度）という。

例1.6　力学系の一般座標の例
1) 3次元空間内にある「1つの質点」は、その座標 で記述される。
　　この場合、自由度は3である。
2) 3次元空間内にある「2つの質点」は、それらの座標
　　 で記述される。
　　ただし、
　　重心座標：
　　相対座標：
　　を考えて、 で考えることもできる。
　　どちらも、質点の位置を表す座標（一般座標）である。
　　この場合、自由度は6である。
3) 2次元空間にある「質量のない、伸び縮みをしない棒でつながれた2つの質点」は、
　　重心の座標と回転角： で記述される。
　　この場合、自由度は5である。
4) 2方向に自由に振れる「上端を固定された振り子」は、
　　2方向への振れ角： で記述される。
　　この場合、自由度は2である。

注1.7　一般座標の表記
ここでは、時間（時刻）を 、一般座標を 、その時間による1階微分を などと書く。
ただし、座標を などと書いた場合、時間による1階微分は などと書く。
また、 もよく使う。

定義1.8　ラグランジアン、作用
各力学系にはラグランジアンとよばれる量が付随する。
ラグランジアンは、座標（）と座標の時間による1階微分（）、時間（）の関数である。
ラグランジアンを の時間積分
　　　
を作用という。

注1.9
ラグランジアンを決定できればその力学系は理論的に記述されたことになる。
（を参照）
各種の力学系のラグランジアンは歴史的に発見されてきたと考えられるが、
多くの場合、運動エネルギー 、ポテンシャルエネルギー に対し、

　　　

と書かれる。
また、 は、1つの質点（1粒子）の場合、 となる。
ポテンシャルエネルギーは、その物理系を特徴づけるものである。

注1.10
ラグランジアンが直接時間に依るのは、一般に、外界からの影響と考えられる。
以下では、このような時間依存性はないとする。

例1.11
1) 3次元内の1つの自由粒子
　　
2) 3次元内の2つの自由粒子
　　
3) 質量のない、伸び縮みをしない棒でつながれた2つの質点、
　　ただし2つとも質量は で、棒の長さは とする。
　　
4) 上端を固定された振り子。
　　棒の長さは とする。
　　
5) クーロン力を及ぼし合う2つの質点。
　　
　　
原理1.12　最小作用の原理
力学系の運動は作用を最小にするように行われる。

定理1.13　オイラー・ラグランジュ方程式
力学系は
　　
に従う。

（証明）
原理1.12が意味することは物理的に実現される を に変更した場合、
作用は変化しないということである。
ここでは1変数で考えるが、多変数の場合も同じである。

これは変形すると、

の変形は最初と最後では とする。
すなわち、 とする。
すると、オイラー・ラグランジュ方程式が導かれる。□

例1.14

とすると、

これはニュートンの運動方程式である。

注1.15
オイラー・ラグランジュ方程式の時間に関する微分部分は、通常、ラグランジアンの
運動エネルギー部分から出てくる。運動エネルギーは、通常、速度の2次形式である。
以下では、このようなもののみを考察する。

定理1.16
ラグランジアンには、「任意の関数の時間についての完全導関数」の不定性がある。

（証明）

として作用を考えると、

となる。
右辺第2項は となるが、この項は
最小作用の原理を適用するときには「定数」として振る舞い、効果がない。□

定義1.17　初期条件
力学系の運動はオイラー・ラグランジュ方程式で記述されるが、その解を得るには、
ある時刻（通常 とする）での座標と速度などが必要である。
これらの値を初期条件という。

例1.18
3次元内にある自由粒子が時刻 のとき、原点をx軸の方向正の向きに
速さ で通過したとする。
このとき、「 での座標と速度が初期条件として与えられた」と言う。
具体的には、「初期座標が 、初期速度が 」と言う。

注1.19
オイラー・ラグランジュ方程式は、通常、時間に関する2階の微分方程式なので、
自由度が 個とすると、初期条件には 個の値が必要となる。

定義1.20
力学系で（時間に対して）不変な量を保存量（あるいは、運動の積分）という。
ただし、「最初の時刻」は定数だが保存量としない。

定理1.21
自由度が 個の力学系には 個の保存量がある。

（証明）
初期条件として与えられる量は定数であり、これに相当する保存量が考えられる。
ただし、初期条件には、「初期の時刻をいつに設定するか」という自由度
（すなわち、初期の時刻も定数である）があるが、この値は「保存量」としない。□

例1.22　一様な重力を受ける質点
ラグランジアンは

と書ける。（運動は1次元内のみとした。）
オイラー・ラグランジュ方程式は


これは簡単に解ける。


上で、 、 が初期条件（の値）である。
これは、自由度が に対して、定数が 個の例になっている。
保存量は 個のはずである。
は、初期時刻（ ）での座標を表すが、この値は初期時刻をずらす
（あるいは、一般の にする）ことで動かすことができる。
これは、初期時刻が のときに初期座標も になるよう、時間の測り方、あるいは、
座標の決め方を変えても、運動の本質は変わらないということである。
そのように取ると、


この運動は、1つだけ定数を持ったものである。
ここで、上の式から として、下の式から を消去すると、

ここで左辺が定数なので右辺も定数（時間に対して不変）である。
この右辺がこの系の唯一の運動の積分（保存量）である。
もちろん、定数 をかけると、これはエネルギーの保存則になる。

これは「保存量の数 = 定数（初期条件）の数 - 1」の具体例である。

注1.23
例1.22のように「定数 = 座標と速度の関数」とすれば右辺が保存量になる。
個の保存量の多くは、その系に特有のものである。
しかし、以下で見るように、エネルギー、運動量、角運動量は多くの系にある。

定理1.24　エネルギーの保存則
ラグランジアンが明示的に に依らないなら、
　　 　：　エネルギー
は保存する。

（証明）

より

注1.25
エネルギーの保存則は「ラグランジアンが明示的に時間に依らない」という
事実から導かれる。
これは「物理現象の本質は時間がたっても変わらない」ということであり、
これを「時間の一様性」と言う。

例1.26　一様な重力を受ける質点
例1.22のラグランジアンでエネルギーを計算すると

定理1.27　運動量の保存則
ラグランジアンが
　
　
　
の変化に対して不変なとき、
　 　：　運動量
は保存する。

（証明）
ラグランジアンの不変性は



ということである。
これとオイラー・ラグランジュ方程式と合わせて証明となる。□

注1.28
運動量の保存則は「物理現象の本質は全体を一度にずらしても変わらない」と
いうことであり、これを「空間の一様性」と言う。

定理1.29　角運動量の保存則
ある点を中心に座標軸を回転させてもラグランジアンが不変のとき、
　 　：　角運動量
は保存する。
ただし、


という記法を使った。

（証明）
で表される回転に対して、座標、速度は次のようにずれる。
　
　
この変化に対してラグランジアンが不変なのだから、

この式にオイラー・ラグランジュ方程式を使い をくくりだすと証明できる。□

注1.30
角運動量の保存則は「物理現象の本質は全体を一度に回転しても変わらない」と
いうことであり、これを「空間の等方性」と言う。
空間の等方性は中心に何もない場合、中心に対称な何かがある場合に成り立つ。

定義1.31
ラグランジアン に対し、 を
（ に対応する）一般運動量（あるいは、単に運動量）という。

定義1.32
ラグランジアン が、 に依存して、 に依存しないとき、
を循環座標という。

定理1.33
循環座標に対応する運動量は保存する。

（証明）
□

例1.34
2次元内で原点からの力を受けて運動する質点のラグランジアンは次のように書ける。

（運動エネルギー部分は を極座標で書き直しただけである。）

このとき、 が循環座標で、 が保存する。
これは、角運動量（の 成分）である。

注0.0
物理学ミニマムは世間様に対して「私は物理学（素粒子論系）を勉強しました」と
言える最低ラインと個人的に思うことをまとめておこうという試みである。
記述方法として、かっこいいから数学書のようにしたが、公理系を打ち立てよう
などという大それた試みではない。