可換代数の初歩

元ネタ：代数曲線入門第1章　梶原健
　
代数の知識が微妙で、いろいろもやもやすることが多い。
だから、教科書（アティマク？）をちゃんと通読しよう
とも思うのだが、それはそれで大事（オオゴト）だ。
で、なんとなく買った上記の本の第1章は、私がもやもやしていたところを
ピンポイントで吹き飛ばしてくれて、久しぶりにスッキリしている。
　
命題
体 係数 変数既約多項式 が を割り切るなら、
は または を割り切る。
　
定理
体 を係数とする、定数でない 変数多項式 は、
順序と定数倍を除いて、既約多項式の積で一意的に表される。
　
命題
定数でない1変数既約多項式で生成されるイデアルは極大である。
また、イデアルが極大になるのは多項式が既約であるときに限る。
　
命題
定数でない 変数既約多項式で生成されるイデアルは素である。
また、イデアルが素になるのは多項式が既約であるときに限る。
しかし、極大とは限らない。
　
命題
体 を係数とする多項式環 のイデアル
は極大である。
　
命題
(1) 可換環が整域であることは、 が素であることと同値である。
(2) 体のイデアルは と自分しかない。特に は極大イデアルである。
(3) 可換環が体であることは、 が極大であることと同値である。
　
命題
を可換環 のイデアルとし、 を自然な準同型とする。
このとき、 のイデアル全体と を含む のイデアル全体は1対1対応する。
特に、素イデアル同士、極大イデアル同士は対応する。
　
命題
体から零環でない環への準同型は単射である。
　
命題
整数環 から任意の可換環 への準同型写像は
　

　
しかない。
　　
命題
素イデアルの準同型写像の逆像は素イデアル。
　
命題
　は同型である。
　
もちろん、上記のすべてを知らなかったわけでは断じてない。