ガンマ関数とベータ関数

いきなり、どうした？みたいな。
量子力学を復習してちょっとそんな気持ちになった。
　
元ネタ：特殊関数　第1章　犬井鉄郎
　
定義　ガンマ関数

　
部分積分をすると
　

　
特に、 。
　
Gaussの公式

　
Weierstrassの公式

ただし、 。
　
これから、 に極を持つことがわかる。
　
定義　ベータ関数

　
いろいろ計算してみると、
　

　
次のような公式も導ける。

　
また、ベータ関数には次のような表示もある。
　

　
定義域を複素数にし、積分範囲も複素数の領域にできる。
　
ガンマ関数の周辺積分表示

　
ベータ関数の周辺積分表示

　
これらを使うと、たとえば、次のような公式が導かれる。
　

　
Stirlingの公式

　
昔々、授業で先生がものすごい（今で言う）ドヤ顔でスターリングの公式を
使っていたような気がするが、何の授業だったか思い出せない。
個人的に、ガウスの公式やワイヤストラスの公式が役に立ったことはない。
そもそも見たことすらない。
ガンマ関数について言うと、2次元可解模型のS行列が大量のガンマ関数で
書かれているのを見て、「あー、ガンマ関数使えるんだ」と思った。
ただ、それもそれほど詳細な知識はいらなかった。ような気がする。
当時、多くの学生が「テツローって名前、本当にあるんだ」と思ったはずである。