代数曲線入門1問1答10

元ネタ：代数曲線入門　梶原健

問題


問1
V\hspace{3}\sub\hspace{3}P^n(k) を射影多様体とする。
V 上の有理関数 f_0,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}f_m\hspace{3}\in\hspace{3}k(V) が (f_0,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}f_m)\hspace{3}\neq\hspace{3}(0) を満たすとする。
このとき、 (f_0,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}f_m) が定義する有理写像と射の定義を述べよ。
答1


問2
環の整拡大の定義を述べよ。
答2


問3　以下を示せ。
W ：　アフィン閉部分多様体
R\hspace{3}=\hspace{3}O(W)[X_0,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n]
I ：　R の斉次イデアル
\tilde{V}(I)\hspace{3}=\hspace{3}\{\hspace{3}(P,\hspace{3}Q)\hspace{3}\in\hspace{3}P^n(k)\hspace{3}\times\hspace{3}W\hspace{3}|\hspace{3}F(P,\hspace{3}Q)\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{6}\forall F\hspace{3}\in\hspace{3}I\hspace{3}\}
O(\tilde{V}(I))\hspace{3}=\hspace{3}\cap_{x_i\hspace{3}\neq\hspace{3}0}\hspace{3}(\{0\}\hspace{3}\cup\hspace{3}\{f/x_i^{deg\hspace{3}f}\hspace{3}\in\hspace{3}(R/I)_{x_i}\hspace{3}|\hspace{3}f\hspace{3}is\hspace{3}homo.\hspace{3}in\hspace{3}R/I\hspace{3}\})
（ただし、 x_i\hspace{3}=\hspace{3}X_i\hspace{3}mod\hspace{3}I ）
このとき、O(V) は自然な準同型 O(W)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}R/I\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}O(V) による
O(W) の像の整拡大である。
答3


問4　以下を示せ。
\varphi\hspace{3}:\hspace{3}V\hspace{3}\sub\hspace{3}P^n(k)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}P^m(k) に対し、
W_i\hspace{3}=\hspace{3}\{\hspace{3}(p_0\hspace{3}:\hspace{3}\cdots \hspace{3}:\hspace{3}p_n)\hspace{3}\in\hspace{3}P^n(k)\hspace{3}|\hspace{3}p_i\hspace{3}\neq\hspace{3}0\hspace{3}\} とすると、
O(\varphi^{-1}(W_i)) の元は O(W_i) の像の上で整である。
答4


問5
答5


問6
答6


問7
答7


問8
答8


問9
答9


問10
答10


問11
答11


問12
答12


問13
答13


問14
答14


問15
答15


解答


問1
がんばれ。（タイプする気力がでないので、直暗記せよ。）


問2
R\hspace{3}\sub\hspace{3}S が環の拡大とする。
s\hspace{3}\in\hspace{3}S が R係数モニック多項式の根であるとき、
s を R 上整であるという。
もし、その多項式の係数がイデアル I の元であるとき、s は I 上整という。


問3
f\hspace{3}\in\hspace{3}O(V) のとき、 fx_0^{\alpha_0}\cdots x_n^{\alpha_n} は
\sum\alpha_i\hspace{3}=\hspace{3}M を適当に大きくすると R/I に含まれる。
したがって、R/I の M 次斉次元全体を R_M とすると、 f\hspace{3}R_M\hspace{3}\sub\hspace{3}R_M 。
あとは前にやった。□


問4
正直、ちゃんとわかったか微妙。以下注意。
P^m(k) の座標を Y_0,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}Y_m とし、
O(W_i)\hspace{3}=\hspace{3}k[y_0,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}y_m]\hspace{15}(\hspace{3}y_j\hspace{3}=\hspace{3}Y_j\hspace{3}/\hspace{3}Y_i\hspace{3}) とする。
I を \tilde{I}(V) と
\{Fy_i\hspace{3}-\hspace{3}Gy_j\hspace{3}|\hspace{3}f_i/f_j\hspace{3}=\hspace{3}\bar{G}/\bar{F}\hspace{9}F,\hspace{3}G\hspace{3}\in\hspace{3}k[X_0,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n]\hspace{6}homo.\hspace{3}\}
で生成される O(W_i)[X_0,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n] の斉次イデアルとする。
このとき、 \tilde{\varphi}\hspace{3}:\hspace{3}\varphi^{-1}(W_i)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}\tilde{V}(I)\hspace{9}(\hspace{3}P\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}(P,\hspace{3}\varphi(P))\hspace{3}) を考えると、
全単射ではないだろうか。
これが全単射だと \tilde{\varphi}^*\hspace{3}:\hspace{3}O(\tilde{V}(I))\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}O(\varphi^{-1}(W_i)) も全単射ではないだろうか。
すると、前問より言える。ような気がする。


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