代数曲線入門1問1答 9

元ネタ：代数曲線入門　梶原健
ちょっと補充的にやるつもりだったのにガッツリはまった。
リーマン−ロッホまではやめられないだろう。
楽しいは楽しいが早く圏論に戻りたくもある。

問題

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問1　次の用語の定義を述べよ。
斉次座標環（）、斉次元、関数体（）
有理関数、 で正則、極
局所環（）、 上正則
非特異、特異点
答1

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問2　以下を示せ
(1) に対して、
　　 なら 。
(2) は斉次元の和で一意的に表される。
答2

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問3　以下を示せ。
の極全体は
に真に含まれる射影代数的集合である。
答3

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問4　以下を示せ。

答4

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問5　以下を示せ。
斉次多項式 に対し、
は に等しい。
また、 は の分数体に等しい。
答5

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問6　以下の定義を述べよ。

答6

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問7　以下を示せ。
1)
2)
答7

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問8　以下を示せ。
1)
2) 　　
3)
4)
答8

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問9　以下を示せ。
1)
2)
答9

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問10　以下を示せ。
1)
2)
答10

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問11　以下を示せ。
とする。
1) の代数的集合 に対し、 。
2) の射影代数的集合 に対し、 。
答11

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問12　以下を示せ。
問11と同じ記法とする。
1) に対し、
また、 は を含む最小の射影的集合で、
に含まれる既約成分を持たない。
2) に対し、 、 。
答12

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問13　以下を示せ。
代数的集合 と射影代数的集合 に対し、
1)
2)
答13

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問14　以下を示せ。
によって、
の代数的集合と
に含まれる既約成分を持たない の射影代数的集合とは
包含関係を保って1体1に対応する。
また、この対応では、既約なものが既約なものに対応する。
答14

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問15　以下を示せ。
のとき、次は同値である。
1) が代数的集合。
2) が射影代数的集合。
答15

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問16　以下を示せ。
は以下の 同型を誘導する。

（両辺のバーはそれぞれの同値類を示す。）
これにより、 。
答16

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解答

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問1
がんばれ。

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問2
よく考えるとわかる。ような気がする。

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問3
に対し、
とおく。
（ は での の剰余類。）
すると、 は を含む斉次イデアル。
考えてみると は の極全体と一致する。
また、 とすると、 。
だから 。

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問4
が正則なら 。
[tex:\hspace{3}\cup\hspace{3}\tilde{I}(V)\hspace{3}\sub\hspace{3}J_f] だから、
[tex:\tilde{V}(\hspace{3}\cup\hspace{3}\tilde{I}(V))\hspace{3}=\hspace{3}\tilde{V}()\hspace{3}\cap\hspace{3}\tilde{V}(\tilde{I}(V))\hspace{3}\supset\hspace{3}\tilde{V}(J_f)] 。
よって、 。
入門8の問11より、ある に対し、次の斉次式全体 は に含まれる。
だから 。
[tex:\tilde{V}()\hspace{3}=\hspace{3}\emptyset] だから ではない。
（もしそうなら、 [tex:\emptyset\hspace{3}=\hspace{3}\tilde{V}()\hspace{3}\supset\hspace{3}V] ）
すなわち、 は 上有限次元（次元でもない）。
の基底を とおくと、 。
これより、 は 係数モニック多項式の根となる。で、 は代数的閉体だった。

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問5
斉次元 とし、 とすると、 を考えていることになる。
ただし、 とする。
は明らか。
とすると、 は の上でだけ定義されていないかもしれない。
ということは、 。よって、 [tex:\sqrt{J_f}\hspace{3}\supset\hspace{3}\sqrt{}] 。
[tex:G\hspace{3}\in\hspace{3}\sqrt{}] だから、 。
すると、 。前半部証明終了。
とすると、 。

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問6


= で生成されるイデアル
= で生成されるイデアル

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問7
がんばれ。

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問8
がんばれ。

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問9
1)
で生成されるイデアル
で生成されるイデアル
しかるに、 。
2)
で生成されるイデアル
で生成されるイデアル

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問10
1)
とする。
すると、 。よって、 。
だから、 。 とすると、 で 。
結局、 。
とする。
すると、 。よって、 。
だから、 とできる。
とすると、 、よって、 。
結局、 。

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問11
1)
当たり前の式を書く。（数学ってそういうことが大事な気がする。）

で、心を落ち着けて考えてみる。
は代数的集合なのだから、 なるイデアルが対応している。
このイデアルの多項式を と書くことにする。
で、 。
その元は で、 となるもの。
さて、 とは、 で、
となってるものの集まり。
最初の式をじっと見ると題意が満たされることがわかる。
2)

さて、 は射影代数的集合だから、 なるイデアルが対応している。
このイデアルの多項式を と書くことにする。
で、 。
その元は で、 となるものの集まり。
さて、 とは、、 で、
となっているものの集まり。

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問12
問11と同様に考えて、 が言える。
　　なんとなれば、
　　　 の元を とすると、 、
　　　 の元を とすると、 に対して
　　　 だから。
よって、 。
上の式の2つ目で とすると、1)の前半部が得られる。
1)の後半部は明らか。
また、 が示せる。
　　なんとなれば、
　　　 とおく。
　　　 とすると、 に対して、
　　　 。
　　　すると、 だから、 。
　　　 とすると、 。
　　　つまり、 。
　　　すると、 となるから、 。
よって、 。
よって、 。
1)の2つめの式で とおくと、 だから、
。
この命題ちょっときつかった。

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問13
1)
2)

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問14
包含関係を保つのは明らか。

だが、
。

だが、 。
そこで、一般に に含まれる既約成分を持たない射影代数的集合 に対し、
なら、 が示されたことになる。
は明らか。
とすると、 。
の既約成分を とすると、 。
で は素イデアルだから、 。

既約なもの同士の対応は前問から言える。

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問15
以下で、 は適宜、変数 に対応するものとする。
1) ⇒ 2)

　　　　　　　　　　
よって、 。
よって、 。
2) ⇒ 1)
。

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問16
問14の解答も使って、 。
また、 。
よって、 は、全射準同型 を誘導する。
だから、

が定義できる。
この写像の定義域を に制限したものを とすると、
これが題意の同型射となる。
（単射性は問7の2)よりわかる。）