群論 1/2

元ネタ：現代代数学　服部昭

§1半群
命題1.1
半群において一般の結合法則が成り立つ。

命題1.2
単位元は存在すればただひとつに定まる。

命題1.3
可換半群において積は順序に無関係に定まる。

命題1.4
逆元は存在すればただひとつに定まる。

命題1.5
と が同型である必要十分条件は
で
を
満たすものが存在することである。
　
§2
命題2.1
群 の空でない部分集合 が部分群をなすための必要十分条件は
1)
2)

定理2.2
を 上の有限変換群とする。
を についての の等方部分群、
を を通る軌道が含む元の数とすると、

命題2.3
が右代表系をなすことと が左代表系をなすことは同値である。

定理2.4
有限群 の部分群 の位数および指数は の位数の約数である。

定理2.5
群 の部分群 について、次の4性質は同値である。
1) 準同型 で となるものがある。
2) の による右剰余類別と左剰余類別は一致する。
　　すなわち、 。
3)
4) が左剰余類のとき も左剰余類をなす。

命題2.6
アーベル群の部分群はすべて正規である。

定理2.7
1) の部分群 の積が
　　部分群をなすための必要十分条件は 。
2) の少なくとも一方が正規部分群なら は部分群。
3) がともに正規部分群なら も正規部分群。
　
定理2.8　準同型定理
群の準同型 に対し、
同型 で
を満たすものがある。

定理2.9　第2同型定理
は の部分群で とする。
すると、 で
　

定理2.10
無限巡回群は と同型であり、
位数 の有限巡回群は と同型である。

定理2.11　フェルマーの定理
有限群 の元 の位数は の位数の約数であり次が成り立つ。

定理2.12　シローの定理
1) 有限群 は各素数 についてシロー -部分群を持つ。
2) の -部分群はあるシロー -部分群に含まれる。
3) シロー -部分群は互いに共役である。
4) シロー -部分群の個数 の形である。

§3作用域をもつ群
定理3.1
を 準同型とする。
すると、 は の -部分群、 は の -正規部分群。
さらに、
1) の を含む -部分群 と の -部分群 は
　　次の対応で1対1に対応し、 が成り立つ。
　　
2) で
　　

定理3.2
完全列 があるとする。
このとき、次は同値である。
1) で となるものがある。
2) の -部分群 で次を満たすものがある。
　　　
3) の -部分群 で の元は の
形で一意的に表される。

§4直積、直和
定理4.1
に対し
で を満たすものが唯一つある。

系4.2
を の -正規部分群の集合で
を満たすものとする。
このとき、 -単準同型 がある。

命題4.3

が完全ならば、

も完全。

定理4.4
において
なら と は可換とすると、
で を満たすものが唯一つある。

系4.5
を -群 の -部分群の集合とし、
1) は 全体で生成される。
2) のとき の元と の元は可換。
とする。
このとき、-準同型 が存在する。

さらに、
3) （ただし、有限個を除いて単位元）ならば 。
なら、 は -同型 を与える。

定理4.6
が -部分群 の直積となるための必要十分条件は
1)
2)
3)

定理4.7
-群 の -正規部分群 について次は同値である。
1) は の -直積因子をなす。
2) で を満たすものがある。
　　（このとき、 ）
3) で かつ を
　　満たすものがある。
　　（このとき、 ）

§5有限アーベル群
定理5.1
有限アーベル群は素数ベキ位数の巡回群の直和として表される。

定理5.2
有限アーベル群 について 。

定理5.3
は同型である。
また準同型 に対し以下は可換。

定理5.4　双対定理
と を有限アーベル群とその指標群の対とする。
このとき、 の部分群 と の部分群と は
零化部分群を構成する操作で1対1に対応する。
また、この対応において、 。