群論 2/2 - ランダム勉強記録

元ネタ：現代代数学　服部昭

§6正規列
命題6.1　ネタ―的な $\Lambda$ -群
$\Lambda$ -群 $G$ においてつぎは同値である。
1) 極大条件
2) 昇鎖律
3) 基底律

命題6.2
1) ネタ―的 $\Lambda$ -群の $\Lambda$ -部分群、剰余群はネタ―的。
2) $\Lambda$ -群の完全系列
　　 $0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}G'\hspace{3}\longrightarrow ^{f_1}\hspace{3}G\hspace{3}\longrightarrow ^{f_2}\hspace{3}G''\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$
において、 $G$ がネタ―的であることと
$G'$ 、 $G''$ がともにネタ―的であることは同値。
3) 有限個のネタ―的 $\Lambda$ -群の直和はネタ―的である。

命題6.3　アルティン的な $\Lambda$ -群
$\Lambda$ -群 $G$ においてつぎは同値である。
1) 極小条件
2) 降鎖律

命題6.4
1) アルティン的 $\Lambda$ -群の $\Lambda$ -部分群、剰余群はアルティン的。
2) $\Lambda$ -群の完全系列
　　 $0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}G'\hspace{3}\longrightarrow ^{f_1}\hspace{3}G\hspace{3}\longrightarrow ^{f_2}\hspace{3}G''\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$
において、 $G$ がアルティン的であることと
$G'$ 、 $G''$ がともにアルティン的であることは同値。
3) 有限個のアルティン的 $\Lambda$ -群の直和はアルティン的である。

定理6.5　シュライアーの細分定理
$C$ 、 $D$ を $G$ の任意の $\Lambda$ -正規列とするとき、 $C$ の細分 $C'$ 、
$D$ の細分 $D'$ で $C'$ と $D'$ は同値であるものが存在する。

補題　ツァッセンハウスの補題
$H$ 、 $K$ を $\Lambda$ -群 $G$ の $\Lambda$ -部分群、
$H'$ 、 $K'$ を $H$ 、 $K$ の $\Lambda$ -正規部分群とする。
このとき、
$\frac{H'(H\cap K)}{H'(H\cap K')}\hspace{3}=\hspace{3}\frac{K'(H\cap K)}{K'(H'\cap K)}$

ツァッセンハウス、またの名をザッセンハウス、なんていい響きだろう。

定理6.6　ジョルダン・ヘルダーの定理
$\Lambda$ -群 $G$ の任意の $\Lambda$ -組成列は同値である。

定理6.7
極大条件と極小条件を満たす $\Lambda$ -群は有限な長さを持つ。

定理6.8
$G$ が可解であるためには、ある $l$ で $D^l(G)\hspace{3}=\hspace{3}0$ となることが
必要十分である。

定理6.9
有限群 $G$ が可解であるためには、
その組成因子がすべて素数位数の群をなすことが必要十分である。

定理6.10
1) 可解群の部分群、準同型像は可解である。
2) $N\hspace{3}\triangleleft\hspace{3}G$ のとき、 $G$ が可解であるためには、
　　 $N$ および $G/N$ が可解であることが必要十分である。
3) 可解群の有限個の直積は可解群である。

定理6.11
対称群 $S_n$ は $n\hspace{3}\leq\hspace{3}4$ のとき可解、
$n\hspace{3}\geq\hspace{3}5$ のとき可解でない。

命題6.12
ベキ零群 $G$ の真部分群 $K$ について
$K\hspace{3}\sub\hspace{3}N_G(K)\hspace{6}(\hspace{3}K\hspace{3}\neq\hspace{3}N_G(K)\hspace{3})$ が成り立つ。
したがって、極大部分群は正規である。

補題
$G$ の正規部分群　 $N$ が $G$ のあるシロー部分群 $P$ を含めば
$G\hspace{3}=\hspace{3}N\cdot N_G(P$

定理6.13
有限群 $G$ について次は同値である。
1) ベキ零群である。
2) $\phi(G)\hspace{3}\supset\hspace{3}D(G)$
3) シロー部分群はすべて正規部分群である。
4) 素数位数群の直積である。

定理6.14
$G$ がベキ零であるためには、ある $h$ で $Z_h\hspace{3}=\hspace{3}\{1\}$ となること、
また $k$ で $Z^k\hspace{3}=\hspace{3}G$ となることが、それぞれ必要十分である。

定理6.15
ベキ零群の部分群、準同型像、有限個の直積はベキ零群である。

§7極限
命題7.1
$\{\hspace{3}X_\mu,\hspace{3}\rho_\nu^\mu\}$ を $M$ 上の帰納系とし、
その帰納的極限を $\rho^\mu\hspace{3}:\hspace{3}X_\mu\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}\lim_{\rightarrow}X_\mu$ とする。すると、
$f^\nu\circ \rho_\nu^\mu\hspace{3}=\hspace{3}f^\mu$ を満たす $\{f^\mu\hspace{3}\in\hspace{3}Hom_\Lambda(X_\mu,\hspace{3}X)\hspace{3}|\hspace{3}\mu\hspace{3}\in\hspace{3}M\}$ に対し、
$f^\mu\hspace{3}=\hspace{3}f\circ \rho^\mu$ を満たす $f\hspace{3}\in\hspace{3}Hom_\Lambda(\lim_{\rightarrow}X_\mu,\hspace{3}X)$ が唯一つある。

$\begin{array}X_\mu&\longrightarrow ^{\rho^\mu}&\lim_{\rightarrow}X_\mu&\\\vspace{10}&&&\\&f^\mu\searrow &\downarrow &f\\\vspace{10}&&&\\&&X&\end{array}$

命題7.2
$\{X_\mu,\hspace{3}\rho_\nu^\mu\},\hspace{6}\{Y_\mu,\hspace{3}\sigma_\nu^\mu\},\hspace{6}\{Z_\mu,\hspace{3}\tau_\nu^\mu\}$ を $\Lambda$ -アーベル群のつくる
$M$ 上の帰納系とし、 $\{f^\mu\hspace{3}:\hspace{3}X_\mu\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Y_\mu\},\hspace{6}\{g^\mu\hspace{3}:\hspace{3}Y_\mu\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Z_\mu\}$ を
それらの間の射型とする。このとき、
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X_\mu\hspace{3}\longrightarrow ^{f^\mu}\hspace{3}Y_\mu\hspace{3}\longrightarrow ^{g^\mu}\hspace{3}Z_\mu\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$ が完全とすると、
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}\lim_{\rightarrow}X_\mu\hspace{3}\longrightarrow ^{f^\infty}\hspace{3}\lim_{\rightarrow}Y_\mu\hspace{3}\longrightarrow ^{g^\infty}\hspace{3}\lim_{\rightarrow}Z_\mu\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$ も完全。

命題7.3
$\{\hspace{3}X^\mu,\hspace{3}\rho_\nu^\mu\}$ を $M$ 上の射影系とし、
その射影的極限を $\rho_\mu\hspace{3}:\hspace{3}\lim_{\leftarrow}X^\mu\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X^\mu$ とする。すると、
$f_\mu\hspace{3}=\hspace{3}\rho_\nu^\mu\circ f_\mu$ を満たす $\{f_\mu\hspace{3}\in\hspace{3}Hom_\Lambda(X,\hspace{3}X^\mu)\hspace{3}|\hspace{3}\mu\hspace{3}\in\hspace{3}M\}$ に対し、
$f_\mu\hspace{3}=\hspace{3}\rho_\mu\circ f$ を満たす $f\hspace{3}\in\hspace{3}Hom_\Lambda(X,\hspace{3}\lim_{\rightarrow}X_\mu)$ が唯一つある。

$\begin{array}&X&&\\\vspace{10}&&&\\f&\downarrow &\searrow f_\mu&\\\vspace{10}&&&\\&\lim_{\leftarrow}X^\mu&\longrightarrow ^{\rho_\mu}&X^\mu\end{array}$

命題7.4
$\{X^\mu,\hspace{3}\rho_\nu^\mu\},\hspace{6}\{Y^\mu,\hspace{3}\sigma_\nu^\mu\},\hspace{6}\{Z^\mu,\hspace{3}\tau_\nu^\mu\}$ を $\Lambda$ -アーベル群のつくる
$M$ 上の射影系とし、 $\{f_\mu\hspace{3}:\hspace{3}X_\mu\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Y_\mu\},\hspace{6}\{g_\mu\hspace{3}:\hspace{3}Y_\mu\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Z_\mu\}$ を
それらの間の射型とする。このとき、
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X^\mu\hspace{3}\longrightarrow ^{f_\mu}\hspace{3}Y^\mu\hspace{3}\longrightarrow ^{g_\mu}\hspace{3}Z^\mu$ が完全とすると、
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}\lim_{\leftarrow}X^\mu\hspace{3}\longrightarrow ^{f_\infty}\hspace{3}\lim_{\leftarrow}Y^\mu\hspace{3}\longrightarrow ^{g_\infty}\hspace{3}\lim_{\rightarrow}Z^\mu$ も完全。

§8位相群
定理8.1
群 $G$ の単位元を含む部分集合の族 $\mathfrak{V}\hspace{3}=\hspace{3}\{V\}$ が
$G$ のある位相群としての構造に関する単位基本近傍系をなすための
必要十分条件は、つぎの1)〜4)を満たすことである。
また、これは位相群の構造を一意的に定める。
1) $V_1,\hspace{3}V_2\hspace{3}\in\hspace{3}\mathfrak{V}\hspace{6}\Longrightarrow\hspace{6}\exists V_3\hspace{3}\in\hspace{3}\mathfrak{V},\hspace{6}V_3\hspace{3}\in\hspace{3}V_1\hspace{3}\cap\hspace{3}V_2$
2) $V\hspace{3}\in\hspace{3}\mathfrak{V}\hspace{6}\Longrightarrow\hspace{6}\exists V'\hspace{3}\in\hspace{3}\mathfrak{V},\hspace{6}V'V'\hspace{3}\in\hspace{3}V$
3) $V\hspace{3}\in\hspace{3}\mathfrak{V}\hspace{6}\Longrightarrow\hspace{6}\exists U\hspace{3}\in\hspace{3}\mathfrak{V},\hspace{6}U^{-1}\hspace{3}\in\hspace{3}V$
4) $V\hspace{3}\in\hspace{3}\mathfrak{V},\hspace{6}a\hspace{3}\in\hspace{3}V\hspace{9}\Longrightarrow\hspace{9}\exists W\hspace{3}\in\hspace{3}\mathfrak{V},\hspace{6}aWa^{-1}\hspace{3}\in\hspace{3}V$

補題
 位相群 $G$ の部分集合 $X$ の閉包 $\bar{X}$ は
$\cap XV,\hspace{3}\cap VX\hspace{9}(\hspace{3}V\hspace{3}\in\hspace{3}\mathfrak{V}\hspace{3})$ で与えられる。

命題8.2
位相群 $G$ が位相空間として $(T_0)$ 分離性を満たせば、
ハウスドルフ分離性を満たし、さらに正則空間をなす。

命題8.3
位相群 $G$ の（正規）部分群 $H$ について $\bar{H}$ も（正規）部分群をなす。

命題8.4
部分群 $H$ が開部分群をなすためには、
ある単位近傍を含むことが必要十分である。
開部分群はまた閉部分群である。

命題8.5
位相群 $G$ の離散的部分群は閉部分群である。

命題8.6
位相群 $G$ の部分群 $H$ について、
$G/H$ 、 $H\backslash G$ がハウスドルフ分離性を満たすには、
$H$ が閉部分群であることが必要十分である。

命題8.7
位相群 $G$ の部分群 $H$ について、
$G/H$ 、 $H\backslash G$ が離散的であるためには、
$H$ が開部分群であることが必要十分である。

命題8.8
$H$ を $G$ のコンパクト部分群、 $C$ を $G/H$ のコンパクト部分集合とすれば、
$\pi^{-1}(C)$ もコンパクトである。

定理8.9
$H$ を $G$ のコンパクト部分群とすれば $G$ が（局所）コンパクトであることと
$G/H$ が（局所）コンパクトであることは同値である。

補題
$\{\hspace{3}X^\mu,\hspace{3}\rho_\nu^\mu\hspace{3}\}$ を射影系、その極限を $X^\infty$ とし、
$\{x^\mu\}$ を $X^\infty$ の点とする。
各 $\mu$ について $x^\mu$ の基本近傍系 $\mathfrak{V}\hspace{3}=\hspace{3}\{V_\mu\}$ をとれば、
$\{\hspace{3}\rho_\mu^{-1}(V_\mu)\hspace{3}|\hspace{3}\mu\hspace{3}\in\hspace{3}M,\hspace{3}V_\mu\hspace{3}\in\hspace{3}\mathfrak{V}\hspace{3}\}$ が点 $x^\mu$ の基本近傍系をなす。

補題
$X^\infty$ は ${\small{\prod}}X^\mu$ の閉部分集合である。

命題8.10
$X^\mu$ がすべてコンパクトならば、 $\lim_{\leftarrow}X^\mu$ もコンパクトである。

定理8.11
位相群 $G$ の正規閉部分群の族 $\{N_\mu\}$ が
1) 任意の $\{N_\mu\}$ 、 $\{N_\nu\}$ に対し $\exists N_\lambda\hspace{3}\in\hspace{3}N_\mu\hspace{3}\cap\hspace{3}N_\nu$
2) 任意の単位近傍 $V$ に対し $\exists N_\mu\hspace{3}\in\hspace{3}V$
を満たせば、 $G$ は $\lim_{\leftarrow}G/N_\mu$ の稠密な部分群と位相同型である。