数学リハビリ（多項式環）

ここでは、 を素元分解整域とする。

主張1
を係数とする多項式 が で割り切れるなら、
の各係数が で割り切れる。

（証明）
そうだよね。□

主張2
を係数とする多項式の環 で規約な多項式は
係数を の商体 に拡張した多項式の環 でも規約である。

（証明）
が既約とする。
これを の元と考え に分解できたとする。
これに の元を適当にかけると での因数分解
が得られる。
を素元分解して、その1つの因子を と書き、
　　
　　
と書くと、
　　　　　　　　　　　　　　　　　と
　　より
または となる。
とすると、 より または となる。
この操作を繰り返していくと、 または であることがわかる。
（数学の証明はもっとかっこよく書くのだろう。）
以上より、 の世界で となる。
しかるに、 の世界では は既約なので または となる。
、 は、これらに の元を掛けたものだから、 または 。□

主張3
を体とすると は単項イデアル整域である。

（証明）
では小学生的割り算ができる。（ので、ユークリッド整域である。）
の任意のイデアルを とすると、 の次数を と書いて、
なる集合ができる。
は自然数（整列集合）なので、 には最小値があり、
その最小値に対応する元を とする。
（要するに、 は 内の最小次数の多項式である。）
すると、任意の に対して、割り算を実行して と書けるが、
これを として考えると、 となる。
この の次数は のものより小さいはずであるが、「 の次数が最小」という事実と
矛盾しないためには でなければならない。□

主張4
単項イデアル整域は素元分解整域である。

（略証）
任意のイデアルにはそれを含む極大イデアルが存在する。
を含む極大イデアルを とすると、 、すなわち、
と書ける。
が単元なら分解完了である。
単元でない場合は、同様に とでき、 となる。
ここで が単元なら分解完了である。
単元でない場合・・・と繰り返していき、いつまでも単元にならなかったとする。
すると、 という無限に続くイデアルの増大列ができる。
しかし、 もイデアルであるから、 のように表されるはずである。
そうすると、あるとき、 となるはずであり、
すると、 となってしまい矛盾する。□

主張5
整域において素元は既約元である。

（証明）
素元 が と書けたとする。
すると、 または となる。
前者だとすると、 となり、 となる。
すると、 となり、 が単元であることがわかる。□

主張6
素元分解整域において既約元は素元である。

（証明）
既約元 を素元分解して になったとする。
ところが、素元は既約元なので、 以外ありえない。□

主張7
単項イデアル整域において 以外の素イデアルは極大イデアルである。

（証明）
を素元として、 を含むイデアル があったとする。
すると、もう勝負あった気がするが、 と書ける。
が素元なので、 か と書ける。
すると か となる。
前者は を意味し、後者は を意味する。□

主張7の系
体 を係数とする多項式環 において、 が既約多項式とすると、
は極大イデアルである。

主張8
を係数とする多項式環 において、
既約多項式は素元である。

（証明）
帰納法を使う。
では自明に成立している。
までで成立しているとする。
が既約とすると、
は でも既約。
ここでは既約元が素元だから、 なら か 。
たとえば、 とすると、 の世界で 。
これに の元を適当に掛ければ、 の世界で、
　（ ）。
主張2の証明と同様に考えれば、 の既約因子で か が割れる。
しかし、 は既約だから、割れるのは のみ。
よって、 の既約因子で割っていって となる。□

主張9
を係数とする多項式環 は素元分解整域である。

感想
数学的には主張9辺りが重要なのだと思う。
しかし、テクニック的には、主張1、主張2が重要な気がする。
真ん中辺の証明は堀田先生の「代数入門」を見た。
それ以外（の主要部）は梶原先生の「代数曲線入門」を見た。