数学リハビリ（代数的集合） - ランダム勉強記録

$V(S)$ （ $S\hspace{3}\sub\hspace{3}k[X_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n]$ ）　：　代数的集合
$k$ 　：　無限体
$I,\hspace{3}J\sub\hspace{3}k[X_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n]$ 　：イデアル

主張1
$I\hspace{3}\sub\hspace{3}J\hspace{15}\Rightarrow \hspace{15}V(I)\hspace{3}\supset\hspace{3}V(J)$

主張2
$V(\{0\})\hspace{3}=\hspace{3}A^n(k)$ 　　　 $V(\{1\})\hspace{3}=\hspace{3}\phi$

主張3
$V(\cup I_\alpha)\hspace{3}=\hspace{3}\cap V(I_\alpha)$

主張4
[tex:V(S)\hspace{3}\cup\hspace{3}V(T)\hspace{3}=\hspace{3}V(~~\hspace{3}\cap\hspace{3})\hspace{3}=\hspace{3}V(\{FG\hspace{3}|\hspace{3}F\hspace{3}\in\hspace{3}S,\hspace{6}G\hspace{3}\in\hspace{3}T\})]~~

主張5
$V\hspace{3}\sub\hspace{3}W\hspace{15}\Rightarrow\hspace{15}I(V)\hspace{3}\supset\hspace{3}I(W)$

主張6
$I(A^n(k))\hspace{3}=\hspace{3}(0)$ 　　　 $I(\phi)\hspace{3}=\hspace{3}k[X_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n]$

主張7
$I(V\hspace{3}\cup\hspace{3}W)\hspace{3}=\hspace{3}I(V)\hspace{3}\cap\hspace{3}I(W)$ 　　　 $I(V\hspace{3}\cap\hspace{3}W)\hspace{3}\supset\hspace{3}I(V)\hspace{3}+\hspace{3}I(W)$

主張8
$I(\{a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}a_n\})\hspace{3}=\hspace{3}(X_1\hspace{3}-\hspace{3}a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n\hspace{3}-\hspace{3}a_n)$

（証明）
$I(\{a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}a_n\})\hspace{3}\supset\hspace{3}(X_1\hspace{3}-\hspace{3}a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n\hspace{3}-\hspace{3}a_n)$ は明らか。
$F\hspace{3}\in\hspace{3}I(\{a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}a_n\})$ とする。
$F$ を $X_i\hspace{3}-\hspace{3}a_i$ で順々に割っていくと余りは $F(a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}a_n)$ となる。
すると、 $F(a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}a_n)\hspace{3}=\hspace{3}0$ であるべきだから、
$F\hspace{3}\in\hspace{3}(X_1\hspace{3}-\hspace{3}a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n\hspace{3}-\hspace{3}a_n)$ 。□