ランダム勉強記録

微分可能多様体1

元ネタ：微分幾何学　今野宏

第1章　多様体とベクトル束

1.1　微分可能多様体

$C^\infty$ 級多様体の定義を述べよ。

$C^\infty(M)$ の定義を述べよ。

微分同相写像の定義を述べよ。

接ベクトルの定義を述べよ。

$T_pM$ の基底を1つ挙げよ。

$g_{\alpha\beta}$ とは何か。

$F\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}N$ の微分とは何か。

$F\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}N$ の正則点とは何か。

$F\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}N$ の正則値とは何か。

接束の定義を述べよ。

ベクトル場の定義を述べよ。

1.2　ベクトル束

ベクトル束の定義を述べよ。（ $\pi\hspace{3}:\hspace{3}E\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M$ ）

ファイバーとは何か。

局所自明化の定義を述べよ。

切断とは何か。（ $\Gamma(E)$ ）

枠場とは何か。

ベクトル束の同型とはどういうものか。

1.3　ベクトル束の双対、テンソル積、引き戻し

$\pi\hspace{3}:\hspace{3}E\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M$ から $\pi_{E_W}\hspace{3}:\hspace{3}E_W\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M$ を構成せよ。

双対ベクトル束 $E^*$ とは何か。

双対枠場とは何だろうか。

ベクトル束の直和（Whittney和）とテンソル積の定義を言え。

縮約とは何か。

引き戻し $f^*E$ の定義を述べよ。
ただし、 $\pi\hspace{3}:\hspace{3}E\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M$ 、 $f\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}N$ とする。

1.4　微分形式

外積代数 $\Lambda^*V$ 、 $\Lambda^kV$ を構成せよ。

$k$ 次対称形式、交代形式とは何か。

$\Lambda^kV$ と $A^k(V^*)$ の同一視を言え。

$\phi\hspace{3}\in\hspace{3}\Lambda^kV^*,\hspace{9}\psi\hspace{3}\in\hspace{3}\Lambda^lV^*$ に対し、 $\phi\hspace{3}\wedge\hspace{3}\psi$ とはどんなものかね。

$k$ 次微分形式とは何か。
またそれらがなす加群 $\Gamma(\Lambda T^*M)$ とはどんなものか。

$\Omega^k(M)$ とは何か。

$\phi\hspace{3}\in\hspace{3}\Omega^k(M)$ が定める多重線型写像とはどのようなものか。

外微分の定義を述べよ。

外微分の具体的な形を説明せよ。

外微分と引き戻しの関係を述べよ。

ド・ラームコホモロジーの定義を述べよ。

1.5　微分形式の積分

1の分解とは何か。

$n$ 形式の積分とは何か。

向きづけられた境界付き微分可能多様体の境界の向きを述べよ。

ストークスの定理のステートメントを述べよ。

1.6　ベクトル場とLie微分

ベクトル場 $X$ の積分曲線とは何か。

1パラメータ変換群の定義を述べよ。

1パラメータ変換群とベクトル場の関係を述べよ。

Lie微分の定義を述べよ。

微分形式のLie微分の具体的な形を述べよ。

テンソル場とは何か。

テンソル場のLie微分を説明せよ。

Lie微分と縮約の関係を述べよ。

内部積の定義を述べよ。

微分可能多様体上の分布の定義を述べよ。

分布が完全積分可能とはどういうことか。

分布が包合的とはどういうことか。

フロベニウスの定理を述べよ。