初等量子力学1問1答 4/4 - ランダム勉強記録

元ネタ：量子力学演習　後藤憲一他

最終回
本日は $\hbar\hspace{3} =\hspace{3} 1$ でやる。
ついでに、言わなくても $\epsilon\hspace{3}>\hspace{3}0$ とする。

問題

問1
Lippmann-Schwingerの方程式
$\psi_a^{(\pm)}\hspace{3}=\hspace{3}\phi_a\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V\psi^{(\pm)}_a$
を導出せよ。
答1

問2
Lippmann-Schwingerの方程式はさらに
次のように書き換えられることを示せ。
$\psi_a^{(\pm)}\hspace{3}=\hspace{3}\phi_a\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V\phi_a$
ただし、 $H\hspace{3}=\hspace{3}H_0\hspace{3}+\hspace{3}V$ である。
答2

問3
散乱振幅とT-行列との関係を言え。
答3

問4
T-行列を「自由粒子＋演算子」で表せ。
答4

問5
$T(E)\hspace{3}=\hspace{3}V\hspace{3}+\hspace{3}V\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}+\hspace{3}i\epsilon}T(E)$
と書けることを示せ。
答5

問6
相互作用表示を説明せよ。
答6

問7
S行列を定義せよ。
答7

問8　
$\psi^{(\pm)}_a\hspace{3}=\hspace{3}U(0,\hspace{3}\mp \infty)\phi_a$ より
$\psi^{(\pm)}_a\hspace{3}=\hspace{3}\phi_a\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V\phi_a$ を導け。
答8

問9　以下を示せ。
$S_{fi}\hspace{3}=\hspace{3}\delta_{fi}\hspace{3}-\hspace{3}2\pi i\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)<\phi_f|\psi^{(+)}_i>$
$S_{fi}\hspace{3}=\hspace{3}\delta_{fi}\hspace{3}-\hspace{3}2\pi i\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)<\psi^{(-)}_f|\phi_i>$
答9

問10
S行列から遷移確率を求めよ。
答10

問11
$T_{fi}\hspace{3}=\hspace{3}<\phi_f|T(E_i)|\phi_i>$ に対して散乱断面積を求めよ。
答11

解答

問1
例によってシュレディンガー方程式：
$(E\hspace{3}-\hspace{3}H_0)\psi\hspace{3}=\hspace{3}V\psi\hspace{15}(H_0\hspace{3}=\hspace{3}-\frac{1}{2m}\Delta,\hspace{9}E\hspace{3}=\hspace{3}\frac{k^2}{2m}\hspace{3})$
Green演算子を $G^{(\pm)}_0(E)\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}$ とする。
相互作用のない場合の固有関数 $H_0\phi_a\hspace{3}=\hspace{3}E_a\phi_a$ を用意して、
$\psi_a^{(\pm)}\hspace{3}=\hspace{3}\phi_a\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V\psi^{(\pm)}_a$
これは演算子 $E_a\hspace{3}-\hspace{3}H_0$ をかけると、シュレディンガーに戻りそうである。
まあ、物理だから。

問2
$\frac{1}{A}\hspace{3}-\hspace{3}\frac{1}{B}\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{B}(B\hspace{3}-\hspace{3}A)\frac{1}{A}\hspace{3}$ を使う。
$A\hspace{3}=\hspace{3}E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon,\hspace{6}B\hspace{3}=\hspace{3}E_a\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon$ とすると、
$\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}\hspace{3}-\hspace{3}\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}$ 　　　（＊）
ここで、 $\psi_a^{(\pm)}\hspace{3}=\hspace{3}\phi_a\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V\phi_a$ がLS方程式を満たすことを示せばよい。
これを上式の右辺に代入する。
$\phi_a\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V(1\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V)\phi_a$
$=\hspace{3}(1\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V)\phi_a$
$=\hspace{3}(1\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}V)\phi_a$
（最後に（＊）を使っている。）
これは左辺である。

問3
$f(\theta,\hspace{3}\phi)\hspace{3}=\hspace{3}-\frac{1}{4\pi}\int\hspace{3}e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r'}}U(r')\psi(\vec{r'})d^3r'\hspace{12}(\hspace{3}U\hspace{3}=\hspace{3}\frac{2m}{\hbar^2}V\hspace{3})$ 　だった。
これをブラ・ケットで書くと
$f(\theta,\hspace{3}\varphi)\hspace{3}=\hspace{3}-\frac{1}{4\pi}(\frac{2m}{\hbar^2})<\phi_b|V|\psi^{(+)}_a>$
$(+)$ のみを採用したのは、これが外向きに散乱されていく、つまり、
物理的にもっともらしい解だからである。
そして、 $<\phi_b|V|\psi^{(+)}_a>\hspace{3}=\hspace{3}T_{ba}$ をT-行列と定義する。

問4
解答をみないと問題が何言ってるかわからないかもしれない。
（問題は私の出題であって、後藤先生たちの責任ではない。）
$T_{ba}\hspace{3}=\hspace{3}<\phi_b|V|\psi^{(+)}_a>\hspace{3}=\hspace{3}<\phi_b|T(E)|\phi_a>$
ただし、 $T(E)\hspace{3}=\hspace{3}V\hspace{3}+\hspace{3}V\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}+\hspace{3}i\epsilon}V$ 。

問5
$T(E)\hspace{3}=\hspace{3}V\hspace{3}+\hspace{3}V\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}+\hspace{3}i\epsilon}V$
$\hspace{24}=\hspace{3}V\hspace{3}+\hspace{3}V(\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}+\hspace{3}i\epsilon}\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}+\hspace{3}i\epsilon}V\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}+\hspace{3}i\epsilon})V$
$\hspace{24}=\hspace{3}V\hspace{3}+\hspace{3}V\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}+\hspace{3}i\epsilon}(\hspace{3}1\hspace{3}+\hspace{3}V\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}+\hspace{3}i\epsilon})V$
$\hspace{24}=\hspace{3}V\hspace{3}+\hspace{3}V\frac{1}{E\hspace{3}-\hspace{3}H_0\hspace{3}+\hspace{3}i\epsilon}T(E)$

問6
問題文がおざなりである。
$\psi_I(t)\hspace{3}=\hspace{3}e^{iH_0t}\psi(t)$
$O_I(t)\hspace{3}=\hspace{3}e^{iH_0t}Oe^{-iH_0t}$
$i\frac{dO_I(t)}{dt}\hspace{3}=\hspace{3}[O_I(t),\hspace{3}H_0]$
$i\frac{\partial \psi_I(t)}{\partial t}\hspace{3}=\hspace{3}V_I(t)\psi_I(t)$
解答もおざなりであった。

問7
時間変化を表す演算子を $U$ とする。
$\psi_I(t)\hspace{3}=\hspace{3}U(t,\hspace{3}t')\psi_I(t')$
これは $U(t,\hspace{3}t')\hspace{3}=\hspace{3}e^{iH_0t}e^{-iH(t\hspace{3}-\hspace{3}t')}e^{-iH_0t'}$ と書ける。
ユニタリ演算子である。
また、シュレディンガー方程式より
$i\frac{\partial }{\partial t}U(t,\hspace{3}t')\hspace{3}=\hspace{3}V_I(t)U(t,\hspace{3}t')\hspace{3}$
これを積分すると、
$U(t,\hspace{3}t')\hspace{3}=\hspace{3}1\hspace{3}-\hspace{3}i\int^{\hspace{15} t}_{\hspace{6} t'}d\tau V_I(\tau)U(\tau,\hspace{3}t')\hspace{3}$
$U(t,\hspace{3}t')\hspace{3}=\hspace{3}1\hspace{3}+\hspace{3}i\int^{\hspace{15} t'}_{\hspace{6} t}d\tau U(t,\hspace{3}\tau)V_I(\tau)$
となる。
無限の過去、未来で（問題にしている）粒子が平面波 $\phi_i$ 、 $\phi_f$ だとすると、
S行列は次のように定義される。
$S\hspace{3}=\hspace{3}U(+\infty,\hspace{3}-\infty)$
$S_{fi}\hspace{3}=\hspace{3}<\phi_f|U(+\infty,\hspace{3}-\infty)|\phi_i>$
$U(+\infty,\hspace{3}-\infty)\hspace{3}=\hspace{3}U(+\infty,\hspace{3}0)U(0,\hspace{3}-\infty)$ だから、
$\psi_i^{(+)}\hspace{3}=\hspace{3}U(0,\hspace{3}-\infty)\phi_i$ 、 $\psi_f^{(-)}\hspace{3}=\hspace{3}U(0,\hspace{3}+\infty)\phi_f$ を使って、
$S_{fi}\hspace{3}=\hspace{3}<\psi_f^{(-)}|\psi^{(+)}_i>$ とも書ける。
この表記を使うとS行列のユニタリ性も簡単に証明できる。

問8
$\psi^{(\pm)}_a\hspace{3}=\hspace{3}U(0,\hspace{3}\mp \infty)\phi_a\hspace{3}=\hspace{3}(1\hspace{3}-\hspace{3}i\int^{\hspace{15} 0}_{\hspace{6} \mp\infty}d\tau U(0,\hspace{3}\tau)e^{-\epsilon|\tau|}V_I(\tau))\phi_a$
突然現れた $e^{-\epsilon|\tau|}$ は何かというと、無限の未来、過去で相互作用を
消すためである。
無限の未来、過去では粒子は遠くにあって相互作用しないだろうから。
でも、ぶっちゃけ、こうしないと答が出せないからであり、答が出るのが
正義なのである。
これが物理だ。と言っても過言ではあるまい。

第2項
$\hspace{24}=\hspace{3}-i\int^{\hspace{15} 0}_{\hspace{6}\mp\infty}d\tau e^{\pm\epsilon\tau}e^{iH\tau}Ve^{-iH_0\tau}\phi_a$
$\hspace{24}=\hspace{3}-i\int^{\hspace{15} 0}_{\hspace{6}\mp\infty}d\tau e^{-i(E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}\epsilon)\tau}V\phi_a$
$\hspace{24}=\hspace{3}[\frac{e^{-i(E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon)\tau}}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}]^0_{\mp\infty}V\phi_a$
$\hspace{24}=\hspace{3}\frac{1}{E_a\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}\pm\hspace{3}\epsilon}V\phi_a$

問9
$\psi^{(-)}_f\hspace{3}=\hspace{3}\phi_f\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E_f\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}-\hspace{3}i\epsilon}V\phi_f$
$\psi^{(+)}_f\hspace{3}=\hspace{3}\phi_f\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{E_f\hspace{3}-\hspace{3}H\hspace{3}+\hspace{3}i\epsilon}V\phi_f$
である。
$\frac{1}{z_0\hspace{3}-\hspace{3}z\hspace{3}\pm\hspace{3}i\epsilon}\hspace{3}=\hspace{3}P(\frac{1}{z_0\hspace{3}-\hspace{3}z})\hspace{3}\mp\hspace{3}i\pi\delta(z_0\hspace{3}-\hspace{3}z)$ という公式があるので、
$\psi^{(-)}_f\hspace{3}-\hspace{3}\psi^{(+)}_f\hspace{3}=\hspace{3}2\pi i\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}H)V\phi_f$
デルタ関数の中に演算子があってもあわてない。
$S_{fi}\hspace{3}=\hspace{3}<\psi^{(-)}_f|\psi^{(+)}_i>$
$\hspace{24}=\hspace{3}<\psi^{(+)}_f\hspace{3}+\hspace{3}2\pi i\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}H)V\phi_f|\psi^{(+)}_i>$
$\hspace{24}=\hspace{3}\delta_{fi}\hspace{3}-\hspace{3}2\pi i\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)<\phi_f|V|\psi^{(+)}_i>$
もう1つの式も同様。

問10
$w_{fi}\hspace{3}=\hspace{3}|S_{fi}|^2/(\int^{\hspace{15} \infty}_{\hspace{6} -\infty}dt)$
学生時代、本当に私を苦しめたのは $f\hspace{3}=\hspace{3}i$ の場合どうするのかである。
今でも、人生をかけられる程の確信を持っては言えないのだが、
たぶん、「そんな場合は考えない」が正解だと思う。
$f\hspace{3}\neq\hspace{3}i$ の場合、
$|S_{fi}|^2\hspace{3}=\hspace{3}(2\pi)^2(\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i))^2|<\phi_f|V|\psi^{(+)}_i>|^2$
デルタ関数の2乗くらいでひるんではいけない。
古来より物理学者に伝わる秘伝
$\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{2\pi}\int^{\hspace{15} \infty}_{\hspace{6} -\infty}dte^{i(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)t}$
を使えば、
$(\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i))^2\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{2\pi}\int^{\hspace{15} \infty}_{\hspace{6} -\infty}dt\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)$
となる。
よって、
$w_{fi}\hspace{3}=\hspace{3}2\pi\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)|<\phi_f|V|\psi^{(+)}_i>|^2$
$w_{fi}\hspace{3}=\hspace{3}2\pi\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)|<\phi_f|T(E_i)|\phi_i>|^2$
物理学者にとって無限大とは「とっても大きな数」ということだ。

問11
今更だが、1辺が $L$ の箱の中で考える。
すると $\phi_n\hspace{3}=\hspace{3}L^{-3/2}e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{r}}$ と考えられる。
このとき、「確率の流れ」は速度を $v$ とすると $v/L^3$ 。
したがって、
$\sigma_T\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{v/L^3}\sum_fw_{fi}\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{v/L^3}\sum_f\{(2\pi)\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)|T_{fi}|^2\}$
運動量（波数ベクトル）は $\frac{2\pi}{L}(n_x,\hspace{3}n_y,\hspace{3}n_z)$ のようになるから、
$(\frac{2\pi}{L})^2\sum_f\hspace{3}=\hspace{3}\int d^3k_f$
と考える。
$v$ は入射粒子の速さであり、「定数」であるが、
エネルギーに関するデルタ関数があるから、
反射波の速さと考えて被積分関数の方にいれることができる。
$\sigma_T\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{(2\pi)^2}\int \frac{d^3k_f}{v}\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)|T_{fi}|^2$
$d^3k_f\hspace{3}=\hspace{3}k_f^2dk_fd\Omega_f$ で $k^2\hspace{3}=\hspace{3}2mE$ より $k_fdk_f\hspace{3}=\hspace{3}mdE_f$ 。
$\sigma_T\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{(2\pi)^2}\int d\Omega_f\int dE_f(\frac{mk_f}{v})\delta(E_f\hspace{3}-\hspace{3}E_i)|T_{fi}|^2$
$\hspace{24}=\hspace{3}\frac{m^2}{(2\pi)^2}\int d\Omega_f|T_{fi}|^2$
よって、
$\frac{d\sigma}{d\Omega_f}\hspace{3}=\hspace{3}(\frac{m}{2\pi})^2|T_{fi}|^2$