アフィン多様体 - ランダム勉強記録

$k$ を固定した代数閉体とする。
　
定義　アフィン $n$ 空間
$A^n$ 　：　 $P\hspace{3}\in\hspace{3}A^n$
$P\hspace{3}=\hspace{3}(a_1,\hspace{3}\cdots,\hspace{3}a_n)$
　
多項式環を　 $A\hspace{3}=\hspace{3}k[x_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3}x_n]$ 　としておく。

定義　零点集合
$T\hspace{3}\subset\hspace{3}A$ 　に対して、
$Z(T)\hspace{3}=\hspace{3}\{P\hspace{3}\in\hspace{3}A^n\hspace{3}|\hspace{3}\forall\hspace{3}f\hspace{3}\in\hspace{3}T\hspace{3}f(P)\hspace{3}=\hspace{3}0\}$
　
定義　代数的集合
$Y\hspace{3}\subset\hspace{3}A^n$ について、ある $T\hspace{3}\subset\hspace{3}A$ があって $Y\hspace{3}=\hspace{3}Z(T)$ となるとき、
$Y$ は代数的集合という。
　
命題
2つの代数的集合の和集合は代数的集合である。
代数的集合の任意の交わりは代数的集合である。
空集合と全空間は代数的集合である。
　
定義　 $A^n$ 上のZariski位相
代数的集合の補集合を開集合とする。
　
定義　既約
$Y$ が $Y\hspace{3}=\hspace{3}Y_1\hspace{3}\cup\hspace{3}Y_2$ （ $Y_1$ 、 $Y_2$ は閉である異なる真部分集合）の
ように書けないとき既約であるという。
空集合は既約と見なさない。
　
$A^1$ は既約である。
　
定義　アフィン代数多様体
$A^n$ の既約閉部分集合。
その開部分集合を準アフィン多様体という。
　
定義
$I(Y)\hspace{3}=\hspace{3}\{f\hspace{3}\in\hspace{3}A\hspace{3}|\hspace{3}\forall\hspace{3}P\hspace{3}\in\hspace{3}Y\hspace{9}f(P)\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{3}}$ 　を
$Y$ の $A$ におけるイデアルという。　
　
命題
(1) $T_1\hspace{3}\subset\hspace{3}T_2\hspace{3}\Rightarrow\hspace{3}Z(T_1)\hspace{3}\supset\hspace{3}Z(T_2)$
(2) $Y_1\hspace{3}\subset\hspace{3}Y_2\hspace{3}\Rightarrow\hspace{3}I(Y_1)\hspace{3}\supset\hspace{3}I(Y_2)$
(3) $I(Y_1\hspace{3}\cup\hspace{3}Y_2)\hspace{3}=\hspace{3}I(Y_1)\hspace{3}\cap\hspace{3}I(Y_2)$
(4) $I(Z(a))\hspace{3}=\hspace{3}\sqrt{a}$
(5) $Z(I(Y))\hspace{3}=\hspace{3}\bar{Y}$
　
命題
$A^n$ と $A$ の根基イデアルの間には $Y\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}I(Y)$ 、 $a\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}Z(a)$ で与えられる
一対一で包含関係を逆にする対応がある。
さらに、代数的集合はそのイデアルが素イデアルであるとき、そのときに限り、既約。
　
定義　アフィン座標環
$Y$ がアフィン代数的集合ならば、 $A(Y)\hspace{3}=\hspace{3}A/I(Y)$ をアフィン座標環という。
　
定義　Noether的
位相空間が Noether 的とは、閉部分集合について降鎖律が成り立つものである。
　
命題
すべての空でない閉部分集合 $Y$ は、 $Y\hspace{3}=\hspace{3}Y_1\hspace{3}\cup\hspace{3}\cdots\hspace{3}Y_r$ のように
既約閉部分集合の有限和で表すことができる。
$Y_i\hspace{3}\not\supset\hspace{3}Y_j\hspace{15}(\hspace{3}i\hspace{3}\neq\hspace{3}j\hspace{3})$ 　とすると $Y_i$ は一意的に決まる。
これを既約成分という。
　
系
$A^n$ 内のすべての代数的集合は、多様体の和集合として、それぞれが他のものに
含まれない形で一意的に表せる。
　
定義　位相空間の次元
異なる既約閉部分集合の鎖 $Z_0\hspace{3}\subset\hspace{3}Z_1\hspace{3}\subset\hspace{3}\cdots\hspace{3}\sub\hspace{3}Z_n$ が存在するような
すべての整数 $n$ の上限を次元という。

$A^1$ の次元は1である。
　
定義　素イデアルの高さ、環の次元
異なる素イデアルの鎖 $p_0\hspace{3}\subset\hspace{3}\cdots\hspace{3}\subset\hspace{3}p_n\hspace{3}=\hspace{3}p$ の上限を $p$ の高さと言う。
すべての素イデアルの高さの上限をその環の次元という。
　
命題
$Y$ がアフィン代数的集合ならば $Y$ の次元は $A(Y)$ の次元に等しい。
　
$A^n$ の次元は $n$ である。
　
命題
$Y$ がアフィン多様体なら $dim\hspace{3}Y\hspace{3}=\hspace{3}dim\hspace{3}\bar{Y}$ 。
　
命題
$A^n$ 内の多様体 $Y$ は $A\hspace{3}=\hspace{3}k[x_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}x_n]$ 内の定数でない既約多項式 $f$ ひとつの
零点集合 $Z(f)$ のとき、そのときに限り、 $n\hspace{3}-\hspace{3}1$ 次元である。
　
元ネタ：代数幾何学　ハーツホーン