射影多様体 - ランダム勉強記録

射影 $n$ 空間を $P^n$ と書く。
　
多項式環 $k[x_0,\hspace{3}\cdots\hspace{3}x_n$ ] を次数付き環 $S$ とする。
$S$ において $a\hspace{3}=\hspace{3}\oplus_{d\hspace{3}\geq\hspace{3}0}\hspace{3}(a\hspace{3}\cap\hspace{3}S_d)$ となるイデアルを斉次イデアルという。
$T$ を $S$ の斉次元のみからなる集合とし、その零点集合を $Z(T)\hspace{3}=\hspace{3}\{\hspace{3}P\hspace{3}\in\hspace{3}P^n\hspace{3}|\hspace{3}\forall\hspace{3}f\hspace{3}\in\hspace{3}T\hspace{3}f(P)\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{3}}$ とする。
　
定義　代数的集合
$S$ の斉次元の集合 $T$ に対し $Y\hspace{3}=\hspace{3}Z(T)$ となる $P^n$ の部分集合。
　
命題
2つの代数的集合の和集合は代数的集合である。
代数的集合の任意の族の交わりは代数的集合である。
空集合と全空間は代数的集合である。
　
定義　Zariski位相
代数的集合の補集合を開集合と定義する。
　
定義　射影代数多様体
$P^n$ の規約代数的集合。
その開部分集合を準射影多様体という。
次元は位相空間としての次元とする。
　
定義　 $Y$ の $S$ における斉次イデアル
$I(Y)\hspace{3}=\hspace{3}\{\hspace{3}f\hspace{3}\in\hspace{3}S\hspace{3}|\hspace{3}\forall\hspace{3}f\hspace{3}\in\hspace{3}Y\hspace{3}f(P)\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{3}\}$
ただし、 $f$ は斉次元のみを取るとする。
　
定義　斉次座標環
$S(Y)\hspace{3}=\hspace{3}S/I(Y)$
　
$P^n$ で $x_i\hspace{3}=\hspace{3}0$ の零点集合を $H_i$ 、 $U_i\hspace{3}=\hspace{3}P^n\hspace{3}-\hspace{3}H_i$ とし、
$\varphi_i(P)\hspace{3}=\hspace{3}(a_0/a/a_i,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}a_n/a_i)\hspace{3}\in\hspace{3}A^n$ とする。
　
命題
写像 $\varphi_i$ は同相写像である。
　
系
$Y$ が射影（または、準射影）多様体のとき、 $Y$ は開集合 $Y\hspace{3}\cap\hspace{3}U_i$ で覆われる。
$Y\hspace{3}\cap\hspace{3}U_i$ はアフィン（または、準アフィン）多様体に同相である。
　
元ネタ：射影幾何学　ハーツホーン