テンソル積2

が1つ固定されているとき、 は 代数という。

定義　係数拡大
を 加群 の への係数拡大という。
　



　
2つの 代数 、 に対して を考えることができる。
乗法を と定義することで再び環になる。

命題

　
が可換とする。
このとき が存在する。
このようなものは同型を除いて1つである。
（これは 圏の押し出し、、、だよね。）
　
例：　
　
（証明）
　が完全だから、
も完全。
しかるに、、 である。
　
例：　　。
　
（証明）
上の例で とおくと、 。
　
積閉集合 に対して分数環 を定義する。
　
として、 の零因子でない元すべての部分集合を取った場合、 を全分数環、全商環という。
　

　を の による局所化という。
　
唯一つしか極大イデアルを持たない環を局所環という。
　
命題
が局所環であるための必要十分条件は がイデアルをなすことである。
このとき が極大イデアルになる。
　
は局所環で、その極大イデアルは である。
さらに、 。
　
積閉集合 と 加群 から を定義する。
これを の による分数化、局所化という。
とくに、 を の における局所化という。
　

　
命題
　が完全なら、
　も完全である。

元ネタ：可換環と体　堀田良之