モデル圏1

定義　射のレトラクト
　
\begin{array}&X&\longrightarrow ^i&Y&\longrightarrow ^r&X\\\vspace{10}&&&&&\\\hspace{40}f&\hspace{3}\downarrow &\hspace{40}g&\downarrow &\hspace{40}f&\downarrow \\\vspace{10}&&&&&\\&X'&\longrightarrow ^{i'}&Y'&\longrightarrow ^{r'}&X'\end{array}
　
が可換で、ri\hspace{3}=\hspace{3}id_X、r'i'\hspace{3}=\hspace{3}id_{X'}のとき、fはgのレトラクトという。
　
定義　リフト
\begin{array}&A&\longrightarrow ^f&X&\\\vspace{10}&&&&\\\hspace{40}i&\downarrow &&\downarrow &p\hspace{40}\\\vspace{10}&&&&\\&B&\longrightarrow ^g&Y&\end{array}
　
が可換のとき、h\hspace{3}:\hspace{3}B\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Xがあって図が可換なままであれば、hをリフトという。
このとき、iはpに対して左リフト性（LLP）があるといい、
pはiに対して右リフト性（RLP）があるという。
　
定義　モデル圏
圏Cが以下の条件を満たすとき、モデル圏という。
弱同値、ファイブレーション、コファイブレーションという3つの射のクラスを持つ。
それぞれのクラスは合成で閉じていて恒等射を含む。
弱同値な（コ）ファイブレーションを自明な（コ）ファイブレーションという。
これらは次の公理を満たす。
　
MC1　有限な極限と余極限を持つ。
MC2　f、g、f \hspace{3} gのうち2つが弱同値なら3つとも弱同値。
MC3　fがgのレトラクトで、gが弱同値（ファイブレーション、コファイブレーション）なら、fもそう。
MC4　リフトの定義の図で
　　　iがコファイブレーションでpが自明なファイブレーションであるか、
　　　iが自明なコファイブレーションでpがファイブレーションのとき、
　　　リフトがある。
MC5　任意の射fは、
　　　f\hspace{3}=\hspace{3}p\hspace{3}i（ただし、iはコファイブレーションでpは自明なファイブレーション）と
　　　f\hspace{3}=\hspace{3}p\hspace{3}i（ただし、iは自明なコファイブレーションでpはファイブレーション）の
　　　2通りに分解できる。
　
コメント
ここでは、弱同値を\simで表す。
　
コメント
始対象、終対象は、「空圏からの関手」の余極限、極限なので、モデル圏には必ず存在する。
ここでは、始対象は0、終対象は*と記す。
　
命題
モデル圏において
(1)自明なファイブレーションに対してLLPを持つ射はコファイブレーションである。
(2)ファイブレーションに対してLLPを持つ射は自明なコファイブレーションである。
(3)自明なコファイブレーションに対してRLPを持つ射はファイブレーションである。
(4)コファイブレーションに対してRLPを持つ射は自明なコファイブレーションである。
　
命題
モデル圏において
コファイブレーション、自明なコファイブレーションは押し出しに対して安定である。
ファイブレーション、自明なファイブレーションは引き戻しに対して安定である。
　
元ネタ：Homotopy theories and model categories W.G. Dwyer and J. Spalinski