モデル圏4 - ランダム勉強記録

$R$ 加群の圏を $Mod_R$ と書く。
　
定義　鎖複体の圏 $\rm{Ch}_R$
対象 $M$ ： $R$ 加群の集まり $\{M_k\}_{k\geq0}$ 。
　　　ただし、この加群間には境界写像 $\partial\hspace{3}:\hspace{3}M_k\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M_{k-1}\hspace{15}(k\hspace{3}\geq\hspace{3}1)$ がある。
　　　境界写像は $\partial^2\hspace{3}=\hspace{3}0$ を満たす。
射 $f\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}N$ ： $R$ 加群の準同型 $f\hspace{3}_k:\hspace{3}M_k\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}N_k$ の集まり。
　　　 $f_{k-1}\partial\hspace{3}=\hspace{3}\partial f_k$ を満たす。
　
定義　ホモロジー関手
$\rm{Ch}_R$ に対し
輪体加群 $Cy_k(M)$ ： $Cy_0(M)\hspace{3}=\hspace{3}M_0$
　　　　　　　　　　　　　　　 $Cy_k(M)\hspace{3}=\hspace{3}ker(\partial\hspace{3}:\hspace{3}M_k\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M_{k-1})\hspace{9}(k\hspace{3}\geq\hspace{3}1)$
境界加群 $Bd_k(M)$ ： $Bd_k(M)\hspace{3}=\hspace{3}im(\partial\hspace{3}:\hspace{3}M_{k+1}\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M_k)$
　
ホモロジー関手 $H_k\hspace{3}:\hspace{3}Ch_R\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Mod_R$ ： $H_k(M)\hspace{3}=\hspace{3}Cy_k(M)\hspace{3}/\hspace{3}Bd_k(M)$
　
$H_k(M)\hspace{3}=\hspace{3}0$ のとき、非輪状（acyclic）という。
　
定義　射影加群
$R$ 加群 $P$ が次の3つの条件を満たす（3つは同値）とき、射影加群という。
(1)　 $P$ は自由 $R$ 加群の直和要素。
(2)　エピな $f\hspace{3}:\hspace{3}A\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}P$ は右逆射を持つ。
(3)　 $A\hspace{6}\longrightarrow \hspace{3}B$ が全射のとき $\rm{Hom}_{Mod_R}(P,\hspace{3}A)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}\rm{Hom}_{Mod_R}(P,\hspace{3}B)$ も全射。
　
定理
以下のように弱同値、コファイブレーション、ファイブレーションを定義をすれば
$Ch_R$ はモデル圏である。
(1)弱同値　　　　　　　　： $f\hspace{3}:\hspace{3}M\longrightarrow \hspace{3}N$ が誘導する $H_kM\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}H_kN$ が同型。
(2)コファイブレーション： $f\hspace{3}_k\hspace{3}:\hspace{3}M_k\longrightarrow \hspace{3}N_k\hspace{6}(k\hspace{3}\geq\hspace{3}0)$ 　が単射で
　　　　　　　　　　　　　　　 $N_k\hspace{3}\simeq\hspace{3}M_k\hspace{3}\oplus\hspace{3}P$ （ $P$ は射影 $R$ 加群）。
(3)ファイブレーション　： $f\hspace{3}_k\hspace{3}:\hspace{3}M_k\longrightarrow \hspace{3}N_k\hspace{6}(k\hspace{3}>\hspace{3}0)$ が全射。
　
定義
$Top$ を位相空間の圏とする。
　
定義　弱ホモトピー同値
$f\hspace{3}:\hspace{3}X\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Y$ が誘導する $f_*\hspace{3}:\hspace{3}\pi_n(X,\hspace{3}x)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}\pi_n(Y,\hspace{3}f(x))$ が
$n\hspace{3}=\hspace{3}0$ で全単射であり、 $n\hspace{3}\geq\hspace{3}1$ で同型のとき、 $f$ を弱ホモトピー同値という。
　
Serreファイブレーション
$p\hspace{3}:\hspace{3}X\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Y$ が $A\hspace{3}\times\hspace{3}0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}A\hspace{3}\times\hspace{3}[0,\hspace{3}1]$ 　（ただし、 $A$ はCW複体）に対し
RLPを持つとき、 $p$ はSerreファイブレーションという。　
　
命題
以下のように弱同値、コファイブレーション、ファイブレーションを定義をすれば
$Top$ はモデル圏である。
(1)弱同値　　　　　　　　　：弱ホモトピー同値
(2)ファイブレーション　　： Serreファイブレーション
(3)コファイブレーション　：自明なファイブレーションに対してLLPを持つ射
　
元ネタ：Homotopy theories and model categories W.G. Dwyer and J. Spalinski