モデル圏5

定義　導来関手
に対し、次のような関手 と
自然変換 の組を左導来関手（left derived functor）という。
すなわち、任意の関手 と自然変換 に対し、
　

　
を可換にするような が唯一つ決まる。
　
右導来関手は と 　で、
次のようになるもの。
　

　
命題
がコファイブラント間の弱同値射を
同型射にうつす関手とすると、 に対する左導来関手があり、
コファイブラント に対し、 は同型になる。
　
定義　全左導来関手
と の合成 に対する左導来関手
　

　
を全左導来関手という。
全右導来関手も同様である。
　

　
定理
随伴　　で
がコファイブレーションを保存し、 がファイブレーションを保存するなら、
随伴　　が存在する。
さらにコファイブラント とファイブラント に対し、 が
弱同値になるのは が弱同値のときであり、そのときに限るなら、
と は同値（圏の同値を示す関手）である。
　
圏 を とする。
に対し、 を とし、
、 を押し出しとして
　

　

　
のように定義する。すると、
　



　
が導かれる。
　
命題
以下のように弱同値、ファイブレーション、コファイブレーションを定義すれば、
はモデル圏である。
射 は
(1)、、 が で弱同値のとき、弱同値。
(2)、、 が でファイブレーションのとき、ファイブレーション。
(3)、、 が でコファイブレーションのとき、コファイブレーション。
　
命題
随伴　　があり、
がコファイブレーションを保存し、 がファイブレーションを保存するなら、
随伴　　がある。
　
定義　ホモトピー押し出し関手
このとき、 をホモトピー押し出し関手という。
　
コメント
ではない。
　
次に、圏 を とする。
に対し、 を とし、
、 を引き戻しとして
　

　

　
のように定義する。すると、
　　



　
が導かれる。
　
命題
以下のように弱同値、コファイブレーション、ファイブレーションを定義すれば、
はモデル圏である。
射 は
(1)、、 が で弱同値のとき、弱同値。
(2)、、 が でコファイブレーションのとき、コファイブレーション。
(3)、、 が でファイブレーションのとき、ファイブレーション。
　
命題
随伴　　があり、
がコファイブレーションを保存し、 がファイブレーションを保存するなら、
随伴　　がある。
　
定義　ホモトピー引き戻し関手
このとき、 をホモトピー押し出し関手という。
　
終了。
元ネタ：Homotopy theories and model categories W.G. Dwyer and J. Spalinski