エンド・コエンド1 - ランダム勉強記録

定義　対角自然変換
$S,\hspace{3}T\hspace{3}:\hspace{3}C^{op}\hspace{3}\time\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}B$ 　に対し、
$c$ に射 $\alpha_c\hspace{3}:\hspace{3}S(c,\hspace{3}c)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}T(c,\hspace{3}c)$ を割り当てる関数 $\alpha$ で次の図を
可換にするものを対角自然変換という。
　
$\begin{array}&&S(c,\hspace{3}c)&\longrightarrow ^{\alpha_c}&T(c,\hspace{3}c)&&\\\vspace{10}&&&&&&\\&\nearrow^{S(f,\hspace{3}1)}&&&&\searrow^{T(1,\hspace{3}f)}&\\\vspace{10}&&&&&&\\S(c',\hspace{3}c)&&&&&&T(c,\hspace{3}c')\\\vspace{10}&&&&&&\\&\searrow_{S(1,\hspace{3}f)}&&&&\nearrow_{T(f,\hspace{3}1)}&\\\vspace{10}&&&&&&\\&&S(c',\hspace{3}c')&\longrightarrow _{\alpha_{c'}}&T(c',\hspace{3}c')&&\end{array}$
　
対角自然変換は $\alpha\hspace{3}:\hspace{3}S\hspace{3}\longrightarrow ^{\cdot\cdot}\hspace{3}T$ と書く。
　
例　
・双関手の自然変換 $\tau$ に対し、 $\alpha_c\hspace{3}=\hspace{3}\tau_{c,\hspace{3}c}$ とする。
　
・2つの1変数関手から「1つの変数がダミーのもの」をつくることができる。
　 $S_o\hspace{3}:\hspace{3}C^{op}\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}B$
　 $T_o\hspace{3}:\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}B$
　 $\alpha\hspace{3}:\hspace{3}S_o\hspace{3}\longrightarrow ^\cdot\hspace{3}T_o$
　
に対し、
　
　 $S(c',\hspace{3}c)\hspace{3}=\hspace{3}S_o(c')$ 、 $T(c,\hspace{3}c')\hspace{3}=\hspace{3}T_o(c)$ 、 $\alpha_c\hspace{3}:\hspace{3}S_oc\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}T_oc$
　
とする。
　
・「変数が2つともダミー」な双関手からつくることができる。
　 $T\hspace{3}:\hspace{3}C^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}B\hspace{30}(\hspace{3}<\hspace{3}c,\hspace{3}c\hspace{3}>\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}b\hspace{3})$
　 $\alpha_c\hspace{3}:\hspace{3}S(c,\hspace{3}c)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}b$
　
このような場合 $\alpha\hspace{3}:\hspace{3}S\hspace{3}\longrightarrow ^{\cdot\cdot}\hspace{3}b$ を特別自然変換という。
また「 $S$ から $b$ へのくさび」という。図に書くと、
　
$\begin{array}&S(c',\hspace{3}c)&\longrightarrow ^{S(1,\hspace{3}f)}&S(c',\hspace{3}c')&\\\vspace{10}&&&&\\\small{S(f,\hspace{3}1)}&\downarrow &&\downarrow &\alpha_{c'}\\\vspace{10}&&&&\\&S(c,\hspace{3}c)&\longrightarrow _{\alpha_c}&b&\end{array}$
　
となる。これは最初の六角形の自明なところを取り除いた図である。
同様に次のようなものもつくれる。
　
$\begin{array}&b&\longrightarrow ^{\beta_c}&T(c,\hspace{3}c)&\\\vspace{10}&&&&\\\beta_{c'}&\downarrow &&\downarrow &\small{T(1,\hspace{3}f)}\\\vspace{10}&&&&\\&T(C',\hspace{3}c')&\longrightarrow _{T(f,\hspace{3}1)}&T(c,\hspace{3}c')&\end{array}$
　
元ネタ：圏論の基礎　S.マックレーン　