エンド・コエンド2

定義　エンド
関手 T\hspace{3}:\hspace{3}C^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X に対し、ある定数 e から S への
普遍的な対角自然変換をエンドという。
　
\begin{array}&&\hspace{15}S(b,\hspace{3}b)&&\\\vspace{10}&&&&\\&\nearrow ^{\omega_b}&&\searrow ^{S(1,\hspace{3}f)}&\\\vspace{10}&&&&\\e\hspace{30}&&&&\hspace{15}S(b,\hspace{3}c)\\\vspace{10}&&&&\\&\searrow ^{\omega_c}&&\nearrow ^{S(f,\hspace{3}1)}&\\\vspace{10}&&&&\\&&\hspace{15}S(c,\hspace{3}c)&&\end{array}
　
ここで、x から S へのくさび（\beta\hspace{3}:\hspace{3}x\hspace{3}\longrightarrow ^{\cdot\cdot}\hspace{3}S）があった場合、
一意的に h\hspace{3}:\hspace{3}x\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}e が存在して、\beta_a\hspace{3}=\hspace{3}\omega_a\hspace{3}h を満たす。
　
e 自体もエンドとよばれ、e\hspace{3}=\hspace{3}\int_c\hspace{3}S(c, c) と書かれる。
　
例
U,\hspace{3}V\hspace{3}:\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X に対し、
hom_X(U-,\hspace{3}V-)\hspace{3}:\hspace{3}C^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Set が定義される。
ここで、Y\hspace{3}\in\hspace{3}Set に対し、\tau_c\hspace{3}:\hspace{3}Y\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}hom_X(Uc,\hspace{3}Vc) なるくさびを考える。くさびの図はあえて書くと

\begin{array}&&\hspace{15}hom_X(Ub,\hspace{3}Vb)&&\\\vspace{10}&&&&\\&\nearrow ^{\tau_b}&&\searrow ^{hom_X(1,\hspace{3}Vf)}&\\\vspace{10}&&&&\\Y\hspace{30}&&&&\hspace{15}hom_X(Ub,\hspace{3}Vc)\\\vspace{10}&&&&\\&\searrow ^{\tau_c}&&\nearrow ^{hom_X(Uf,\hspace{3}1)}&\\\vspace{10}&&&&\\&&\hspace{15}hom_X(Uc,\hspace{3}Vc)&&\end{array}
　
ここで、y\hspace{3}\in\hspace{3}Y 上で考えると、これは Vf\hspace{3}\circ\hspace{3}\tau_{b.\hspace{3}y}\hspace{3}=\hspace{3}\tau_{c,\hspace{3}y}\hspace{3}\circ\hspace{3}Uf を意味する。
これは、図に書きなおすと
　
\begin{array}&Ub&\longrightarrow ^{\tau_{b,\hspace{3}y}}&Vb&\\\vspace{10}&&&&\\Uf&\downarrow &&\downarrow &Vf\\\vspace{10}&&&&\\&Uc&\longrightarrow _{\tau_{c,\hspace{3}y}}&Vc&\end{array}
　
で、\tau_{-,\hspace{3}y}\hspace{3}:\hspace{3}U\hspace{3}\longrightarrow ^\cdot\hspace{3}V が自然変換ということである。
これは Y\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X^C(U,\hspace{3}V) を意味する。
以上をまとめると、
　
X^C(U,\hspace{3}V)\hspace{3}=\hspace{3}\int_c\hspace{3}hom(Uc,\hspace{3}Vc)
　
となる。
　
命題
エンドは極限である。
（C から作られるある圏（細分圏）での極限である。）
　
系
X が小完備で C が小さいとき、 T\hspace{3}:\hspace{3}C^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X は
X にエンドを持つ。
　
命題
極限はエンドである。
（T\hspace{3}\in\hspace{3}X^C に対し、S(c,\hspace{3}c')\hspace{3}=\hspace{3}Tc' とおくと　\lim_{\leftarrow}\hspace{3}T\hspace{3}=\hspace{3}\int_c\hspace{3}S(c,\hspace{3}c) ）
　
定義　コエンド
エンドの双対をコエンドという。
d\hspace{3}=\hspace{3}\int^{\hspace{24}c}\hspace{3}S(c,\hspace{3}c)
　
例
・テンソル積
環 R を対象がそれ自体、射がその要素の圏と考える。すると、
右R加群 A は R^{op}\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Ab なる関手と考えられる。
左R加群 B は R\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Ab なる関手と考えられる。
よって、R\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}A\hspace{3}\otimes\hspace{3}B は双関手 R^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}R\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Ab と考えることができる。
以上をまとめると、
　
A\hspace{3}\otimes_R\hspace{3}B\hspace{3}=\hspace{3}\int^{\hspace{30}R}\hspace{3}A\hspace{3}\otimes\hspace{3}B
　
となる。
　
・単体集合の幾何実現
S\hspace{3}:\hspace{3}\Delta^{op}\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Set
　
\Delta\hspace{3}:\hspace{3}\Delta\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Top　に対し

\int^{\hspace{24}n}\hspace{3}(Sn)\cdot\Delta n
　
エンドは極限でコエンドは余極限だから、\hom関手に関して次のように振舞う。
　
X(x,\hspace{3}\int_c\hspace{3}S(c,\hspace{3}c))\hspace{3}=\hspace{3}\int_c\hspace{3}X(x,\hspace{3}S(c,\hspace{3}c))
　
X(\int^{\hspace{24}c}\hspace{3}S(c,\hspace{3}c),\hspace{3}x)\hspace{3}=\hspace{3}\int_c\hspace{3}X(S(c,\hspace{3}c),\hspace{3}x)
　
元ネタ：圏論の基礎　マックレーン