エンド・コエンド3

命題
S,\hspace{3}S'\hspace{3}:\hspace{3}C^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X に対し
それぞれがエンド [tex:]、[tex:] を持つとし、また、
自然変換 \gamma\hspace{3}:\hspace{3}S\hspace{3}\longrightarrow ^{\cdot}\hspace{3}S' があったとする。
すると、Xに一意的な射 \int_c\hspace{3}\gamma_{c,\hspace{3}c}\hspace{3}:\hspace{3}e\hspace{3}\longrightarrow\hspace{3}e' が存在して下図が可換になる。
　
\begin{array}&\int_c\hspace{3}S(c,\hspace{3}c)&\longrightarrow ^{\omega_c}&S(c,\hspace{3}c)\\\vspace{10}&&&\\\int_c\hspace{3}\gamma_{c,\hspace{3}c}&\downarrow &&\downarrow \\\vspace{10}&&&\\&\int_c\hspace{3}S'(c,\hspace{3}c)&\longrightarrow _{\omega'_c}&S'(c,\hspace{3}c)\end{array}
　
　
定理
T\hspace{3}:\hspace{3}P\hspace{3}\times\hspace{3}C~{op}\hspace{3}\times\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X が
各対象 p\hspace{3}\in\hspace{3}P についてエンド \omega_p\hspace{3}:\hspace{3}\int_c\hspace{3}T(p.\hspace{3}c,\hspace{3}c)\hspace{3}\longrightarrow ^{\cdot\cdot}\hspace{3}T(p,\hspace{3}-,\hspace{3}-) を持つとする。
このとき、Up\hspace{3}=\hspace{3}\int_c\hspace{3}T(p,\hspace{3}c,\hspace{3}c) を対象関数とる関手 U\hspace{3}:\hspace{3}P\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X が存在して、
(\omega_p)_c\hspace{3}:\hspace{3}Up\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}T(p,\hspace{3}c,\hspace{3}c) は p において自然な変換になる。
　
　
定理
上の定理の T に関して、T^{\sharp}(c',\hspace{3}c)\hspace{3}=\hspace{3}T(-,\hspace{3}c',\hspace{3}c)\hspace{3}:\hspace{3}P\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X のように
T^{\sharp}\hspace{3}:\hspace{3}C^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X^P を定義する。
すると、T^{\sharp はエンド \omega^{\sharp}\hspace{3}:\hspace{3}\int_c\hspace{3}T(-,\hspace{3}c,\hspace{3}c)\hspace{3}\longrightarrow ^{\cdot\cdot}\hspace{3}T^{\sharp} を持つ。
ただし、(\omega^{\sharp}_c)_p\hspace{3}=\hspace{3}(\omega_p)_c である。
　
　
定理
S\hspace{3}:\hspace{3}P\hspace{3}^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}P\hspace{3}\times\hspace{3}C^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X が P の対象のすべの組 [tex:]
についてエンド \int_c\hspace{3}S(p,\hspace{3}q,\hspace{3}c,\hspace{3}c) を持つとする。
すると S を (P\hspace{3}\times\hspace{3}C)^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}(P\hspace{3}\times\hspace{3}C)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X とみなして、次のような同型が一意的にある。
　
[tex:\theta\hspace{3}:\hspace{3}\int_{}\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)\hspace{3}\simeq\hspace{3}\int_p\[\int_c\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)\]]
　
また下図が可換になる。

[tex:\begin{array}&\int_{}\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)&&\longrightarrow ^{\xi_{}}&&S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)\\\vspace{10}&&&&&\\\theta&\downarrow &&&&\parallel\\\vspace{10}&&&&&\\&\int_p\[\int_c\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)\]&\longrightarrow _^{\rho_p}&\int_c\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)&\longrightarrow ^{\omega_{p,\hspace{3}p,\hspace{3}c}}&S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)\end{array}]
　
　
系
S\hspace{3}:\hspace{3}P\hspace{3}^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}P\hspace{3}\times\hspace{3}C^{op}\hspace{3}\times\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X が P の対象のすべの組 [tex:]、 [tex:]について
2つのエンド \int_c\hspace{3}S(p,\hspace{3}q,\hspace{3}c,\hspace{3}c)　と　\int_c\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}b,\hspace{3}c) を持つとする。
このとき次のような同型がある。
　
\theta\hspace{3}:\hspace{3}\int_p[\int_c\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)]\hspace{3}\simeq\hspace{3}\int_c[\int_p\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)]
　
これは、下図を可換にする一意的な射である。

\begin{array}&\int_c[\int_p\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)]&\longrightarrow &\int_p\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)&\longrightarrow &S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)\\\vspace{10}&&&&&\\\theta&\downarrow &&&&\parallel\\\vspace{10}&&&&&\\&\int_p[\int_c\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)]&\longrightarrow &\int_c\hspace{3}S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)&\longrightarrow &S(p,\hspace{3}p,\hspace{3}c,\hspace{3}c)\end{array}
　
元ネタ：圏論の基礎　マックレーン