カン拡張1

補題
が恒等関手上の錘であり、 があって、
が極限錘となっているなら、 は の始対象。
　
（証明）
であるが、これを関手 と考え、
　

　
という構造を考えている。
　
は錘だから、下図が可換。

　
（ からすべての対象 への射 が他の射と可換になるようにある。という点がポイント。）
しかるに、 は極限錘なので、 がわかる。
　
さらに、 があったとすると

　
も可換だから、 が言える。
これは、 は唯一つしかないということを意味する。□
　
系
は（あれば）始対象である。
　
（証明）
上の補題で を とすればよい。□
　
に対し、コンマ圏 を考え、
　
[tex:Q\hspace{3}:\hspace{3}(x\hspace{3}\downarrow G)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}A\hspace{18}(\hspace{3}\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}a\hspace{3})]
　
を定義する。（この関手が結構なすぐれものである。）
　
定理
が左随伴を持つ必要十分条件は
(1)　 が のすべての極限を保存する。
(2)　各 について が存在する。
（ である。）
　
（証明）
必要性：
(1)　随伴とはそういうものだった。
(2)　一般に、始対象 を持つ圏 について、 は必ず極限を持つ。
　　それは である。
　　しかるに、 は始対象 [tex:] を持つ。
　
十分性：
が極限を保存するとき、 はすべての極限を創出する（圏論の基礎　補題5-6-3）。
極限を創出する関手はその極限を保存する（圏論の基礎　定理5-4-2）。
　

　
を考えると、 は を創出し、保存する。
と書くと、[tex:] が の始対象。□
　
が与えられると に対する関手 が定義できる。
　
　　
　
ここで は の対象（つまり、関手）、 は の射（つまり、自然変換）。
　
定義　右カン拡張
、 が与えられたとき、
に沿った の右カン拡張とは と
から への普遍射 の組である。
　
図に書くと
　

　
ただし、 である。
　
を にうつす変換は、（ を と書き）自然な全単射を与える。
　

　
もし、すべての に対して右カン拡張があるなら、これは随伴である。
　

　
上の対応を と置くなら、随伴の常道によれば、
と書けるだろう。
　
ついでに左カン拡張について書くと次のようになる（と思う）。
　

　

　

　
元ネタ：圏論の基礎　マックレーン