カン拡張2

定理
があるとする。
に対し、
　
[tex:Q\hspace{3}:\hspace{3}(c\hspace{3}\downarrow K)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M\hspace{30}(\hspace{3}\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}m\hspace{3})]
　
を考える。ここで が
　

　
のように極限を持ち、その極限錐が とする。
すると、 に
　

　
が一意的に対応し、 は の関手となる。
ここで、 とすると、 となり、
と が に沿った の右カン拡張になる。
　
系
が小圏で が完備なら、任意の は
任意の に沿った右カン拡張を持つ。
　
系
が充満忠実なら は自然同型を与える。
　
系
が の充満部分圏のとき、その包含にそった右カン拡張 は
、 を満たす。
　
左カン拡張、右カン拡張はコエンド、エンドで書ける。
　

　

　
ところで、
　

　
である。
ただし、ここで は、 に対応する余冪への入射である。
教科書には「同型の追跡によりわかる」とあるが追跡できなかった。
（とても重要な気はする。）
とりあえず、次のように考えた。
　
は次のような普遍性を持つ。
　

　
一方、コエンドの普遍性は
　

　
のようなものである。
すると、
　

　
が作れる。
は、 の持つべき普遍性を持っている。
このようなものは同型を除いてひとつしかないのだから、
これでいいような気がする。
　
元ネタ：圏論の基礎　マックレーン