カン拡張3
次のような右カン拡張があったとする。
ただし、 。
ここで、 が余単位元
を持った右カン拡張なら、
「 は右カン拡張を保存する」という。
これは も意味する。
定理
が左随伴
を持つとき、
は
上のすべての右カン拡張を保存する。
（証明）
ここで、 を右に動かしていくと、
ただし、ここで 、
は
、
の随伴に関する余単位元、単位元。
は右カン拡張の余単位元。
で、最後の項は三角等式より、 に等しい。
系
が右カン拡張で、
が小さなhom集合を持ち、
すべての小さい余冪を持つとき、 は
の右カン拡張であり、余単位元
を持つ。
(証明）
だった。
つまり、 は
を左随伴に持つ。□
定義
があり、
が小さなhom集合を持つときに、
右カン拡張 がすべての
について
に
よって保存されるなら、 は各点的であるという。
定理
関手 が
に沿った
各点右カン拡張を持つことと、すべての について
の極限が存在することは同値である。
このとき、[tex:Rc\hspace{3}=\hspace{3}\lim_{\leftarrow}*1] 。
特に、 とし、米田の補題と下の補題を使うと、
□
補題
に対し、以下の全単射がある。
（証明）
の対象は
のようなものであるが、これを [tex:
（ は
が決まれば決まるものだから本質的には不要だと思う。が、いい目印にはなる。）
[tex: となる
である。
の元を
とすると、
は
[tex:\tau{
しかるに、これが錘であるから、[tex:\tau{
一方、 の元を
とすると、
は、
を与える。
を左上から右下にもっていくと、
となる。
これらを比べると補題が言える。□
系
が各点カン拡張のとき、そのときに限り、
は全単射。
この全単射を とすると、
、
に対し、
（証明）
全単射は定理の証明中で示されている。
後半部分は米田の補題の良い計算練習だと思う。
ので、思い切りゆっくりやる。
まず、米田の補題は
。
ここで、 は、
に対して
と決まり、
逆に は
を
にうつす。
一方、（ でうつった）右カン拡張では、自然変換
が
で表される。これをコンポーネントで書くと、
となる。
まとめると系の後半部分が証明された。□
元ネタ：圏論の基礎 マックレーン
*1:c\hspace{3}\downarrow K)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}A)] である。
（証明）
十分性：
の極限が存在すれば、右カン拡張ができる。
この右カン拡張は極限の形で与えられることになるが、
は極限を保存する。
よって、この右カン拡張は各点的である。
必要性：
下のように右カン拡張
があったとする。右カン拡張であるのだから、関手
に対して、
[tex:Set^C(V,\hspace{3}R^a)\hspace{3}\simeq\hspace{3}Set^M(VK,\hspace{3}A(a,\hspace{3}T-
