カン拡張4

コンマ圏 (K\hspace{3}\downarrow c) の対象は f\hspace{3}:\hspace{3}Km\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}c のようなもので、これを [tex:] と書く。
ここで、2つの関手を定義する。（射影関手？）
　
[tex:P^c\hspace{3}=\hspace{3}m]
[tex:Q^c\hspace{3}=\hspace{3}f]
　
すると、Q^c\hspace{3}:\hspace{3}KP^c\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}c は錘と考えることができる。
　
定義
K\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}C が稠密とは、各 c\hspace{3}\in\hspace{3}C について
\lim_{\rightarrow}\hspace{3}KP^c\hspace{3}=\hspace{3}c
が成り立ち、その余極限錘が Q^c になることを言う。
特に、部分圏 M が C において稠密であるとは、その包含関手が稠密であることとする。
　
いろいろ双対のようなのでそれも書いておこう。
　
コンマ圏 (c\hspace{3}\downarrow K) の対象は f\hspace{3}:\hspace{3}c\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Km のようなもので、これを [tex:] と書く。
ここで、2つの関手を定義する。（射影関手？）
　
[tex:P^c\hspace{3}=\hspace{3}f]
[tex:Q^c\hspace{3}=\hspace{3}m]
　
すると、P^c\hspace{3}:\hspace{3}c\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}KQ^c は錘と考えることができる。
　
定義
K\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}C が余稠密とは、各 c\hspace{3}\in\hspace{3}C について
\lim_{\leftarrow}\hspace{3}KQ^c\hspace{3}=\hspace{3}c
が成り立ち、その極限錘が P^c になることを言う。
　
命題
K\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}C が余稠密であるとき、そのときに限り、
Id_C は Id_K\hspace{3}:\hspace{3}K\hspace{3}\longrightarrow ^\cdot\hspace{3}K を伴って、
K に沿った K の各点右カン拡張になる。
　
「自分自身の自分自身に沿った拡張」とはなんだろうか。
一応、それらしい図を書いておく。
　
\begin{array}&C&&\\\vspace{10}&&&\\K&\uparrow &\searrow ^{Id_C}&\\\vspace{10}&&&\\&M&\longrightarrow &C\end{array}
　
命題
C(a,\hspace{3}c)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}C^M(C(c,\hspace{3}K-),\hspace{3}C(a,\hspace{3}K-))
（\varphi(g)f\hspace{3}=\hspace{3}f\hspace{3}\circ\hspace{3}g）
　
は全単射。
これは c\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}C(c,\hspace{3}K-)\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Ens によって定義される関手
C^{op}\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Ens^M が充満忠実なことと同値である。
　　
系
M のhom集合が Ens に含まれるとき、Ym\hspace{3}=\hspace{3}M(m,\hspace{3}-) で
定義される米田埋め込み Y\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}(Ens^M)^{op} は余稠密である。
　
（証明）
教科書に書いてある。
　
元ネタ：圏論の基礎　マックレーン