カン拡張5

定理
が余極限を持つとき、そのときに限り、
は関手 に沿った左カン拡張を持つ。
このとき、　（ は の唯一の対象のつもり）である。
　
双対的に、極限が右カン拡張になる。
　
定理
が左随伴を持つとき、そのときに限り、
右カン拡張 が存在し、 によって保存される。
このとき、 であり、カン拡張の余単位元が
随伴の余単位元になる。
　
（証明に関するコメント）
十分性の証明のキモは　　である。
（順番を個人的嗜好に合わせて書き直した。）
あるいは、書き直すと　　である。
これは が左随伴、 が右随伴の形である。
その単位元、余単位元を（証明内の対応に従って）書いてみると、
　　　（）、
　　（）
これらは 、 の随伴性から導かれるものだが、
（随伴の左右が逆になるが）なるほどもっともらしい感じがする。
しかるに、元の　　はよく見ると
の右カン拡張の式である。
　

　

　
とくに、　とおくと、 。
一応それらしい図を書いておくと次のよう。
　

　
これは、 を意味する。
その余単位元は だから、 は任意の関手で保存されることがわかる。
もちろん、教科書の別証を与えたわけではない。
必要性の部分に関して、コメントは特にない。□
　
命題
　が余単位元　　を伴う左随伴 を持つとき、
が存在し、これは余単位元 を伴う に等しく、
任意の関手に保存される。□
　

　
のような右カン拡張を考える。
　

　　　
　
なので、これは米田の補題である。
　
カン拡張の勉強終了。
　
元ネタ：圏論の基礎　マックレーン