モデル圏1問1答 1/5

Homotopy theories and model categories W.G. Dwyer and J. Spalinski　より。
　
問題


問1
モデル圏の定義を述べよ。（Dwyer Spalinski方式）
ヒント：MC1〜MC5
　
答1


問2　以下を証明せよ。
モデル圏において
(1)自明なファイブレーションに対してLLPを持つ射はコファイブレーションである。
(2)ファイブレーションに対してLLPを持つ射は自明なコファイブレーションである。
(3)自明なコファイブレーションに対してRLPを持つ射はファイブレーションである。
(4)コファイブレーションに対してRLPを持つ射は自明なコファイブレーションである。
　
答2


問3　以下を証明せよ。
(1) コファイブレーションと自明なコファイブレーションは押し出しで安定。
(2) ファイブレーションと自明なファイブレーションは引き戻しで安定。
　
答3


問4
射が弱同値、ファイブレーション、コファイブレーションであることの
証明はどうやってやればよいか。
　
答4



問5
円筒対象、経路対象の定義を述べよ。
　
答5


問6
問5の答にある i_0、i_1、p_0、p_1 が弱同値であることを証明せよ。
A がコファイブラントで A\wedge I が良い円筒対象なら i_0、i_1 は自明なコファイブレーション、
X がファイブラントで X^I が良い経路対象なら p_0、p_1 は自明なファイブレーション
であることを証明せよ。
ヒント：前半ができない人はちょっとうっかりさんである。
　
答6

解答


問1
モデル圏
圏Cが以下の条件を満たすとき、モデル圏という。
弱同値、ファイブレーション、コファイブレーションという3つの射のクラスを持つ。
それぞれのクラスは合成で閉じていて恒等射を含む。
弱同値な（コ）ファイブレーションを自明な（コ）ファイブレーションという。
これらは次の公理を満たす。
　
MC1　有限な極限と余極限を持つ。
MC2　f、g、f \hspace{3} gのうち2つが弱同値なら3つとも弱同値。
MC3　fがgのレトラクトで、gが弱同値（ファイブレーション、コファイブレーション）なら、fもそう。
MC4　リフトの定義の図で
　　　iがコファイブレーションでpが自明なファイブレーションであるか、
　　　iが自明なコファイブレーションでpがファイブレーションのとき、
　　　リフトがある。
MC5　任意の射fは、
　　　f\hspace{3}=\hspace{3}p\hspace{3}i（ただし、iはコファイブレーションでpは自明なファイブレーション）と
　　　f\hspace{3}=\hspace{3}p\hspace{3}i（ただし、iは自明なコファイブレーションでpはファイブレーション）の
　　　2通りに分解できる。


問2
(1)のみ証明する。
f\hspace{3}:\hspace{3}A\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}B が自明なファイブレーションに対してLLPを持つ射とする。
これがコファイブレーションとなることを示せばよい。
f をコファイブレーション-自明なファイブレーション A\hspace{3}\longrightarrow ^i\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow ^p\hspace{3}B に分解すると、
　
\begin{array}A&\longrightarrow ^i&C\\\vspace{10}&&\\f\hspace{3}\downarrow \hspace{10}&\hspace{5}\nearrow h&\hspace{10}\downarrow p\\\vspace{10}&&\\B&\longrightarrow _=&B\end{array}
　
ができる。（h は仮定より。）これを書き直して、
　
\begin{array}A&\longrightarrow ^=&A&\longrightarrow ^=&A\\\vspace{10}&&&&\\f\hspace{3}\downarrow \hspace{10}&&\hspace{10}\downarrow i&&\hspace{10}\downarrow f\\\vspace{10}&&&&\\B&\longrightarrow _h&C&\longrightarrow _p&B\end{array}
　
ができる。
これは、f がコファイブレーション i のレトラクトであることを示している。
よって、f がコファイブレーションであると言える。


問3
(1)の半分のみ証明する。
題意は
　
\begin{array}&A&\longrightarrow &C&\\\vspace{10}&&&&\\f&\downarrow &&\downarrow &g\\\vspace{10}&&&&\\&B&\longrightarrow &B{\small{\coprod}}_AC&\end{array}
　
で、f がコファイブレーションなら g もコファイブレーションになるということ。
g がコファイブレーションであることを示すには、自明なファイブレーションに対して、
LLPがあることを示せばよい。そこで、
　
\begin{array}&C&\longrightarrow &X&\\\vspace{10}&&&&\\g&\downarrow &&\downarrow &h\\\vspace{10}&&&&\\&B{\small{\coprod}}_AC&\longrightarrow &Y&\end{array}
　
が可換で、h は自明なファイブレーションとする。
すると、
　
\begin{array}&A&\longrightarrow &X&\\\vspace{10}&&&&\\g&\downarrow &\hspace{6}\nearrow k&\downarrow &h\\\vspace{10}&&&&\\&B&\longrightarrow &Y&\end{array}
　
ができる。（k は g のLLPによる。）
一方、B{\small{\coprod}}_AC が押し出しであることから、C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X と k より、
B{\small{\coprod}}_AC\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X が決まる。


問4
考察している射やその近辺の射を
　コファイブレーション-自明なファイブレーションに分解
　自明なコファイブレーション-ファイブレーションに分解
して考えるとよいかもしれない。
　
弱同値
恒等射は弱同値。
2 out of 3 が弱同値なら、残りも弱同値。
弱同値のレトラクトは弱同値。
　
ファイブレーション
恒等射はファイブレーション。
ファイブレーションの合成はファイブレーション。（2 out of 3 まではいかない。）
ファイブラント対象から終対象への射はファイブレーション。
自明なコファイブレーションに対してRLPがあればファイブレーション。
ファイブレーションのレトラクトはファイブレーション。
ファイブレーションの引き戻しはファイブレーション。
　
コファイブレーション
恒等射はコファイブレーション。
コファイブレーションの合成はコファイブレーション。（2 out of 3 まではいかない。）
始対象からコファイブラント対象への射はコファイブレーション。
自明なファイブレーションに対してLLPがあればコファイブレーション。
コファイブレーションのレトラクトはコファイブレーション。
コファイブレーションの押し出しはコファイブレーション。
　
自明なファイブレーション、自明なコファイブレーションについては推して知るべし。


問5
円筒対象
A{\small{\coprod}}A\hspace{6}\longrightarrow ^{id_A\hspace{3}+\hspace{3}id_A}\hspace{3}A　が
　
A{\small{\coprod}}A\hspace{3}\longrightarrow ^i\hspace{3}A\wedge I\hspace{3}\longrightarrow^\sim\hspace{3}A
　
のように分解されるとき、A \wedge I を A に対する円筒対象という。
（ここで右の射は弱同値である。）
　
さらに、
　
A{\small{\coprod}}A\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}A \wedge Iがコファイブレーションのときは良い円筒対象、
その上 A\wedge I\hspace{3}\longrightarrow^\sim \hspace{3}Aが自明なファイブレーションのときはとても良い円筒対象という。
　
ここではA\hspace{3}\longrightarrow ^{in_0}\hspace{3}A{\small{\coprod}}A\hspace{3}\longleftarrow ^{in_1}\hspace{3}A　に対して、i_0\hspace{3}=\hspace{3}i\hspace{3}in_0、i_1\hspace{3}=\hspace{3}i\hspace{3}in_1 と書く。
A\wedge I\hspace{3}\longrightarrow^\sim \hspace{3}A を p と書くと、p\hspace{3}i_0\hspace{3}=\hspace{3}p\hspace{3}i_1\hspace{3}=\hspace{3}id_A である。
　
経路対象
X\hspace{6}\longrightarrow ^{(id_X,\hspace{3}id_X)}\hspace{6}X\hspace{3}\times\hspace{3}X　が
　
X\hspace{3}\longrightarrow ^\sim\hspace{3}X^I\hspace{3}\longrightarrow ^p\hspace{3}X\hspace{3}\times\hspace{3}X
　
のように分解されるとき、X^I を X の経路対象という。
（ここで左の射は弱同値である。）
　
さらに、
　
X^I\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}X\hspace{3}\times\hspace{3}X がファイブレーションのときは良い経路対象、
その上 X\hspace{3}\longrightarrow ^\sim\hspace{3}X^Iが自明なコファイブレーションのときはとても良い経路対象という。
　
ここではX\hspace{3}\longleftarrow ^{pr_0}\hspace{3}X\hspace{3}\times\hspace{3}X\hspace{3}\longrightarrow ^{pr_1}\hspace{3}X に対して、p_0\hspace{3}=\hspace{3}pr_0\hspace{3}p、p_1\hspace{3}=\hspace{3}pr_1\hspace{3}p と書く。
X\longrightarrow ^\sim\hspace{3}X^I を i と書くと、p_0\hspace{3}i\hspace{3}=\hspace{3}p_1\hspace{3}i\hspace{3}=\hspace{3}id_X である。


問6
p\hspace{3}i_0\hspace{3}=\hspace{3}p\hspace{3}i_1\hspace{3}=\hspace{3}id_A で p と id_A は弱同値。
p_0\hspace{3}i\hspace{3}=\hspace{3}p_1\hspace{3}i\hspace{3}=\hspace{3}id_X で i と id_X は弱同値。
よって前半部が言える。
余積は始対象からはじまる押し出しだから、
　
\begin{array}0&\longrightarrow &A&\\\vspace{10}&&&\\\downarrow &&\downarrow &in_0\\\vspace{10}&&&\\A&\longrightarrow _{in_1}&A{\small{\coprod}}A&\end{array}
　
と書ける。
0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}A はコファイブレーションだから、その押し出しである
in_0 もコファイブレーションであることがわかる。
（正しくは、cobase change（余基底変換？）と言うべきだが、
　訳語がよくわからないので、ぼんやり書いた。）
A\wedge I が良い円筒対象とは、i がコファイブレーションということだから、
i_0\hspace{3}=\hspace{3}in_0\hspace{3}i もコファイブレーションである。
　
以下同様。