モデル圏1問1答 2/5

Homotopy theories and model categories W.G. Dwyer and J. Spalinski　より。

問題

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問7
左ホモトピー、右ホモトピーの定義を述べよ。
　
答7

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問8　以下を証明せよ。
(1) のとき、からへの良い左ホモトピーがある。
　　さらにがファイブラントなら、とても良い左ホモトピーがある。
(2) のとき、からへの良い右ホモトピーがある。
　　さらにがコファイブラントなら、とても良い右ホモトピーがある。
　
答8

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問9　以下を証明せよ。
(1) で がコファイブラントなら は同値関係。
(2) で がファイブラントなら は同値関係。
　
答9

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問10　以下を証明せよ。
(1) がコファイブラントで が自明なファイブレーションのとき、
　　 は全単射。
(2) がファイブラントで が自明なコファイブレーションのとき、
　　 は全単射。
答10

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問11　以下を証明せよ。
(1) がファイブラントで 、 のとき、
　　
(2) がコファイブラントで 、 のとき、
　　
答11

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問12
(1) がファイブラントなら を導く。
(2) がコファイブラントなら を導く。
　
答12

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解答

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問7
定義　左ホモトピック
に対し、
　

　
が可換となるようながあるとき、は（を通しての）からへの左ホモトピーといい、
とは左ホモトピックであるという。（で表す。）
が（とても）良い円筒対象のときは（とても）良い左ホモトピーという。
　
ただし、これは Dwyer、Spalinski（他の人も？）の記法であると思う。
そもそも とは何であろうか？
2つの射 が与えられたとき、
　

　
により、（余積の性質により） が決まる。これは、通常の記法なら ではないだろうか。
これを と書いている。わからないことはない。
も同様に考えることができる。
　

　
ただし、円筒対象の定義に書いたように、そもそも、これは である。
ホモトピーの定義によれば、 である。しかるに、


である。これと上の式を見比べると、なるほど、 というのはもっともらしい。
　
定義　右ホモトピック
に対し、
　

　
が可換となるようながあるとき、は（を通しての）からへの右ホモトピーといい、
とは右ホモトピックであるという。（ で表す。）
が（とても）良い経路対象であるときは（とても）良い右ホモトピーという。
　

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問8
円筒対象とは次のようなものだった。
　

　
(1)の前半：
を分解する。
　

　
ただし、 はコファイブレーション、 は自明なファイブレーションとする。
ここで、 、、 とすれば、
、 となる。
　
(1)の後半：（記号は前半と違う意味で使うので注意。）
前半の結果より、 を最初から良い円筒対象とする。
そして、 を分解する。
　

　
ここで、 は自明なコファイブレーション、 は自明なファイブレーションである。
すると、
　

　
のように を構成できる。
　

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問9
(1)のみ。
反射律：
より、 を円筒対象と考えることができる。
　

より、 。
　
対象律：
とすると、
　

　

　
となるのだった。ここで、　
　

　
を考える。ただし、 は が余積（余極限）であることから決まる射である。
すると となり、
　

より、 。
　
ここまで がコファイブラントであることは使っていない。
　
推移律：
とする。
すると、
　

　

　
は、 がコファイブラントだから、自明なコファイブレーションである。
ここで、次のような押し出しを考える。
　

　
は押し出しであり、 と から、
ができる。
さらに、次のような を分解する図式ができ、 は
円筒対象であることが言える。
　

　
ここで、押し出しを 、 に適用すると、
ができる。
これらより、
　

　
ができる。

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問10
(1)のみ。
がwell definedなのは明らか。
（）
　
全射性：
　に対し、以下の図式を考える。
　

　
仮定より、リフト がある。
これは、 となる。
　
単射性：

のとき、以下の図式を考える。
　

　
ただし、 は良い円筒対象とする。
仮定より、リフト　があり、
　となる。

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問11
(1)のみ。
まず、仮定より、
　

　　

　
がある。
がファイブラントなので をとても良い円筒対象にとる。
については良い円筒対象をとり、以下の図式ができる。
　　

　
左の下向き矢印はコファイブレーション、右の下向き矢印は
自明なファイブレーションなので、リフト ができる。
すると、 である。
これらを使うと、 。

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問12
(1)のみ。
と考えたいが、これがwell-definedでなければならない。
　


　
とする。
すると、前問より 。
また、 は左ホモトピーの定義より明らか。