モデル圏1問1答 3/5

Homotopy theories and model categories W.G. Dwyer and J. Spalinski　より。
　
問題

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問13　以下を証明せよ。
とする。
(1) がコファイブラントのとき、 。
(2) がファイブラントのとき、 。

答13

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問14
で と がコファイブラントかつファイブラントなら、
以下が成り立つことを証明せよ。
　
が弱同値。　 がホモトピー逆射を持つ。
　
答14

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問15
(1) 対象 からコファイブラントな対象 を作れることを示せ。
(2) 対象 からファイブラントな対象 を作れることを示せ。
　
答15

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問16
に対し
　
(1) 　　を可換とする があること、
(2) の左ホモトピー（また、右ホモトピー）同値類は一意に決まること、
(3) がファイブラントなら、 は で決まること
　
を示せ。
　
答16

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問17
について前問と同様のことを述べよ。
　
答17

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解答

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問13
(1)のみ。
左ホモトピーとは、円筒対象
　

　
に対し、
　

　
があるということ。
がコファイブラントだから、 は自明なコファイブレーションに取れる。
経路対象
　

　
を用意して、
　

　
を考える。
が自明なコファイブレーションで がファイブレーションだから、
なる射ができる。
これを使って
　

　
ができる。
実際、
　

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問14
の証明：
が弱同値とする。
それを自明なコファイブレーション とファイブレーション に分解する。
（ が弱同値なので も自明になる。）
すると、
　

　
となり、 もファイブラントかつコファイブラントであることがわかる。
次に、
　

　　
より、 を得る。
まず、 だが、これで と言える。
次に、 がファイブラントで が自明なコファイブレーションだから、
　

　
は全単射である。しかるに、
　


　
だから、 が言える。
同様に、 となる がある。
すると、 が のホモトピー逆射となる。
実際
　


　
の証明：
がホモトピー逆射 を持つとする。
それを自明なコファイレーション とファイブレーション に分解する。
（当然、上の証明の 、 とは無関係。）
　

　
この が弱同値ならよい。
仮定より、
　

　
ここで、 は自明なコファイレーションに取れる。したがって、
　

　
を考えると、 を得る。
とおくと、 。
は弱同値なので、最初に証明したように、ホモトピー逆射を持つ。
それを とする。
より 。
より 。
より がわかるが、
は当然弱同値だから も弱同値。
ところで、 は のレトラクトである。
　
　
　
よって も弱同値である。
　
うぬ〜。読めばわかる。
数学者は自分で思いつくのだろうが、それは数学の世界ではどのくらいの
難易度なんだろうか。
　

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問15
　を次のように分解すればよい。

ここで、 は自明なファイブレーションとする。
同様に、
　を分解する。

ここで、 は自明なコファイブレーションとする。
　
1問1答をはじめたときは、1問につきこの程度の負荷を考えていた。

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問16
(1)

　
を考えれば、 があることがわかる。
ただし、「ある」というだけで「一意」などとは言っていない。
　
(2)
であるが、これは を意味する。
しかるに、 はコファイブラントで は自明なファイブレーションだから、
は全単射。
よって、 は一意的に決まる。
また、 はコファイブラントだから、左ホモトピーは右ホモトピーとなる。
　
(3)
はファイブラントだから、 のとき 。

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問17
に対し
　
(1) 　　を可換とする がある。
(2) の右ホモトピー（また、左ホモトピー）同値類は一意に決まる。
(3) がコファイブラントなら、 は で決まる。