圏論初級徒然

圏論ではなるべく集合的な考え方（元を1つずつ見るような考え方）から離脱すべきだろう。
しかし、hom 集合は重要な役割を果たしているような気がする。
よって、hom 集合（や集合一般）の扱い方に習熟しておいてもよいような気がする。
　
補題
以下の3つは同値である。
(1) は同型射。　（集合ではない世界）
(2) は全単射。（集合の世界）
(3) は全単射。（集合の世界）
　
Riehlによると、モノ、エピは名詞で、モニック、エピックは形容詞らしい。
「環境会議」（環境に関する会議）のように名詞を形容詞的に使うことはよくあるので、
モノ射と言ってもよいと思うが、モノとだけ言っても悪いことはあるまい。
（一般論として、術語の権威ある訳者は、名詞か形容詞かの違いに注意を払ってほしい。）
　
補題
(1) はモノ は単射。
(2) はエピ は単射。
　

補題
において、モノは単射、エピは全射、同型射は全単射。
　
こういうものの証明はいろいろおもしろいと思う。
以下、 とする。
　
モノ 単射：
がモノなら、 に対し、 なのだった。
これは の単射性を示している。
この逆は明らか。
　
エピ 全射：
に対し、 は、「 の像の上で 」を意味する。
これをよく考えると、証明できたことになる。
こちらの証明はモノのときと比べて、少し「ぼんやり」な気がするのはなぜだろう。
　
定義
右逆射をセクションといい、左逆射をレトラクションという。
セクションは漢字で断面、レトラクションは引き戻しなどと書くらしい。
で なら、
は に対するセクション、 は に対するレトラクションという。
（「The map s is a section to r.」の「to」のニュアンスがまだよくつかめないので
　「に対する」と書いた。
　これを「 のセクション」のように「の」と訳している人も多いような気がするが、、、。）
また、このとき、「 は のレトラクト」という。　
ちなみに、retractは普通の英語では動詞のようだが、数学では堂々たる名詞として
使われている。
また、右逆射を分裂モノ、左逆射を分裂エピともいう。
　
元ネタ：Category theory in context Emily Riehl