圏論初級徒然3

定義　ローカルに小さい圏
対象間の射の集合が小さいとき、その圏はローカルに小さいという。
（あるいは、「局所的に小さい」とか「局所小」とか？
　マックレーン（日本語版）には「小さいhom集合を持つ圏」とある。まんまである。）
　
定義　表現
ローカルに小さい圏 C から Set への関手 F が c\hspace{3}\in\hspace{3}C に依る関手に
自然同型なら、F は表現可能、c によって表現される、という。
特に、
　
　C(c,\hspace{3}-)\hspace{3}\simeq\hspace{3}F　or　C(-,\hspace{3}c)\hspace{3}\simeq\hspace{3}F
　
のとき、これを F の表現という。
　
米田の補題
ローカルに小さい圏 C と関手 F\hspace{3}:\hspace{3}C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Set に対し、
集合としての全単射
　
　\Phi(c,\hspace{3}F)\hspace{3}:\hspace{3}Set^C(C(c,\hspace{3}-),\hspace{3}F)\hspace{3}\longrightarrow ^\simeq\hspace{3}Fc\hspace{15}(\hspace{3}\alpha\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}\alpha_c(1_c)\hspace{3})
　
がある。
また、この対応は、c、F について自然である。
　
補題の「自然」とは、この対応の両辺を2つ関手（C\hspace{3}\times\hspace{3}Set^C\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Set）の
対象関数を [tex:] に適用した結果と考えたとき、この対応が自然変換に
なっているということである。
　
\begin{array}Set^C(C(c,\hspace{3}-),\hspace{3}F)&\longrightarrow ^{\Phi(c,\hspace{3}F)}&Fc\\\vspace{10}&&\\\downarrow &&\downarrow \\\vspace{10}&&\\Set^C(C(c',\hspace{3}-),\hspace{3}F')&\longrightarrow _{\Phi(c',\hspace{3}F')}&F'c'\end{array}
（縦の矢印はそれぞれの関手の射関数で射をうつしたもの。）
　
それで、米田関手（米田埋め込み）を定義すると、その関手をもう少し
見やすく書ける。
最近気がついたが、Riehl先生の関手の表示法はわかりやすいかもしれない。
米田関手 y の定義を書くと次のよう。
　
定義　米田関手
\begin{array}&C^{op}&\longrightarrow ^y&Set^C&\\\vspace{10}&&&&\\&&&&\\\vspace{10}&&&&\\&c&\rightarrow &C(c,\hspace{3}-)&\\\vspace{10}&&&&\\f&\downarrow &&\uparrow &f^*\\\vspace{10}&&&&\\&c'&\rightarrow &C(c',\hspace{3}-)&\end{array}
（ハテナの（私の？）ミニlatex能力では、「要素の変換」を表す後ろに
　縦棒のついた矢印が書けない。ので、短い矢印で代用している。）
　
その双対を書くと次のよう。
　
\begin{array}&C&\longrightarrow ^{y'}&Set^{C^{op}}&\\\vspace{10}&&&&\\&&&&\\\vspace{10}&&&&\\&c&\rightarrow &C(-,\hspace{3}c)&\\\vspace{10}&&&&\\f&\downarrow &&\downarrow &f_*\\\vspace{10}&&&&\\&c'&\rightarrow &C(-,\hspace{3}c')&\end{array}
　
さて、米田埋め込みを使うと、米田の補題の左の関手は次のように書ける。
　
[tex:\begin{array}&C\hspace{3}\times\hspace{3}Set^C\hspace{21}&\longrightarrow ^{Set^C(y(-),\hspace{3}-)}&Set&\\\vspace{10}&&&&\\&&&&\\\vspace{10}&&&&\\&&\rightarrow &Set^C(C(c,\hspace{3}-),\hspace{3}F)&\\\vspace{10}&&&&\\&\downarrow &&\downarrow &Set^C(C(f,\hspace{3}-),\hspace{3}\beta)\\\vspace{10}&&&&\\&&\rightarrow &Set^C(C(c',\hspace{3}-),\hspace{3}F')&\end{array}]
　
もう1つの関手は
　
[tex:\begin{array}&C\hspace{3}\times\hspace{3}Set^C\hspace{45}&\longrightarrow ^{e^v}&\hspace{45}Set&\\\vspace{10}&&&&\\&&&&\\\vspace{10}&&&&\\&\hspace{45}&\rightarrow &\hspace{45}Fc&\\\vspace{10}&&&&\\&\downarrow \hspace{45}&&\hspace{45}\downarrow &F'f\hspace{3}\beta c\hspace{3}=\hspace{3}\beta c'\hspace{3}Ff\\\vspace{10}&&&&\\&\hspace{45}&\rightarrow&\hspace{45}F'c'&\end{array}]
　
なお、米田埋め込みは充満忠実な関手である。
　　　　
元ネタ：Emily Riehl : Category theory in context