圏論初級徒然6

予想を遥かに上回る遅さで進んでいる。
やっと、極限、余極限。
　
定義　
に対し を
「 のすべての対象を に、すべての射を にうつす関手」と考える。
（例によって、記号の濫用だと思うが、数学っぽくてかっこいい。
　そしてそれを理解できる自分はすごいなと思える。）
すべての をそのような関手にうつす関手を とする。
　
定義　錐
に対し 自然変換 のことを、
「 を頂点とする 上の錐」という。
は、「 を底とする 下の錐」という。
（今日は、微妙にマックレーン先生の記法に従っている。）
　
定義　極限・余極限
　
を を 「 を頂点とする 上の錐」の集合にうつす関手とする。
（つまり、 ）である。
この関手が表現可能のとき、
　
　
　
その表現を極限という。米田の補題
　
　
　
により、この対応は、 の1つの元（ とする）で書ける。
この を極限錐という。
　
この双対
　
　
　
より、余極限
　
　
　
余極限錐 が定義される。
　
ちなみに、 だから、
　
　
　
　
である。
　
補題（教科書では定義になってる）
極限は の終対象である。
余極限は の始対象である。
　
（証明）
前日の命題より。□
　
命題
2つの極限があった場合、頂点同士は同型で、その同型射は
錐の他の射と可換である。
　
極限の例
・積
　　 が分離圏（恒等射以外に射のない圏）のときの極限。
・終対象
　　 が空圏のときの極限。
・終圏
　　、 の終対象。
　　今更だが、 は小さい圏の圏、 はローカルに小さい圏の圏。
　　これは対象が1つで射が恒等射のみの圏。
・イコライザ
　　 が
　
　　　　　
　
　　の極限。
・引き戻し
　　 が　
　
　　　　
　
　　の極限。しばしば、 に対し のように書かれる。

極限の例
・余積
　　 が分離圏（恒等射以外に射のない圏）のときの余極限。
・始対象
　　 が空圏のときの余極限。
・コイコライザ
　　 が
　
　　　　　
　
　　の余極限。
・押し出し
　　 が　
　
　　　　
　
　　の余極限。
　
ところで、
　
　
　
　
などという公式をよく見るが、これらが「当たり前すぎて説明を聞かれるのも嫌」に
見えるようでなければ、まだ修行が足りないのだろう。
たとえば、積では次のような（積の普遍性を表す）図式が書ける。
　

　
これを式で書けば、 。
これは上の式（の例）になっている。
　
余積の場合も同様に、
　

　

　
である。
　
元ネタ：Emily Riehl : Category theory in context