圏論初級徒然7

定義　完備・余完備
すべての小さい図式が極限を持つときその圏は完備という。
すべての小さい図式が余極限を持つときその圏は余完備という。
　
ちなみに、complete、cocompleteである。
余もcoも発音が楽しい。
　
命題（教科書では定義）
では である。
（ は元を1つしか持たない集合。）
極限錘は
　

　
（ は錘（自然変換）で、 はそのコンポーネント）
　
定理
は完備である。
　
（証明へのコメント）
まあ、そうだね。
　
上の命題がいろいろなものの計算に使える。
これらは簡単だけどおもしろい。だから「初級徒然」だった。
　
・積
とすると 。
は から要素をひとつずつ選び出す錘の集合。
だから、よく考えると、 。
　
・終対象
空の図式への からの錘は「何もない」が1つのみ。
したがって集合としてはやっぱり （に同型）。
　
・イコライザ
に対しては、 で となるもの。
つまり、 。
　
・
（ は 0 からはじまる自然数。）

（ただし、 は自然数間の順序（大小関係）。）
　
・引き戻し
に対し、考えるべき図式は
　

　
つまり、 。
　
定理
の小さい図式の極限は2つの積の間の射のイコライザで書くことができる。
に対して、
　

　
ここで 、 は のオブジェクトの集合、射の集合を表す。
また、 と は証明中で定義される。
　
（証明へのコメント）
あくまで最初の命題を使って極限を表そうとする。
当然、、 も極限なので、錘と考える。
のオブジェクトも射もたくさんあるのが普通だが、代表して1つで図を書いてみると、
それぞれ、
　
　　　　　　
　
ここで、 や は自然変換であるが、それぞれ や の元と
考えることもでき、実際そうする。
左の を素直に右の （ただし、、 ）にうつす
錘から錘への射（積から積への射）を とする。
一方、左の を右の （ただし、、 ）にうつす
錘から錘への射（積から積への射）を とする。
この2つの射のイコライザを考えれば、それは の中から
となるものたちを拾い集めたことになる。□
　
例　冪等
よく出てくるから、きっと大事なものなんだろう。
で となるものを冪等という。
これを 内の図式と考え、その極限を考える。
まず、 内の極限は のように作れる。
　

　
それは、 の集まり、つまり、 の元 で
となるものの集まりである。
　
さらにイコライザによる構成をする。
　

　　
ここで、 がイコライザであり、求める極限でもある。
ここで、 を考えると、 の普遍性より、 で
となるものが唯一つある。これを冪等の分裂という。
これは
　

　
だから、 は のレトラクトということになる。
考えてみると、 であり、
　

　
だが、イコライザが極限であることから、そのような射は1つしかなく が言える。
　
逆にレトラクト
　

　
があるとき、 は冪等である。
　
元ネタ：Emily Riehl : Category theory in context