直交多項式 - ランダム勉強記録

直行多幸式。
　
元ネタ：特殊関数　第2章　犬井鉄郎
　
有限区間の一般論
　
$X(x)\hspace{3}=\hspace{3}(b\hspace{3}-\hspace{3}x)(x\hspace{3}-\hspace{3}a)$
$\rho(x)\hspace{3}=\hspace{3}(b\hspace{3}-\hspace{3}x)^\alpha(x\hspace{3}-\hspace{3}a)^\beta\hspace{27}\alpha\hspace{3}>\hspace{3}-1,\hspace{3}\beta\hspace{3}>\hspace{3}-1$
　
に対し、
　
$F_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{\rho(x)}D^n[\rho(x)X(x)^n]\hspace{18}D\hspace{3}=\hspace{3}\frac{d}{dx}$
　
とおくと、これは n 次多項式になる。
任意の n - 1 次多項式 ${\small{\prod}}_{n-1}(x)$ に対し、
　
$\int^{\hspace{15} b}_{\hspace{6} a}\rho(x)F_n(x){\small{\prod}}_{n-1}(x)dx\hspace{3}=\hspace{3}0$
　
となる。したがって、特に、
　
$(F_l,\hspace{3}F_k)\hspace{3}=\hspace{3}\int^{\hspace{15} b}_{\hspace{6} a}\rho(x)F_l(x){\small{\prod}}_k(x)dx\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{15}(k\hspace{3}\neq\hspace{3}l)$
　
である。（左辺を真ん中の式で定義した。）
$k\hspace{3}=\hspace{3}l\hspace{3}=\hspace{3}n$ のときは
　
$|F|^2\hspace{3}=\hspace{3}(F_n,\hspace{3}F_n)$
　
となるが、これは $F_n$ の規格化積分という。
　
Jacobi多項式
$P^{(\alpha,\hspace{3}\beta)}_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}\frac{(-1)^n}{2^nn!}(1\hspace{3}-\hspace{3}x)^\alpha(1\hspace{3}+\hspace{3}x)^\beta D^n[(1\hspace{3}-\hspace{3}x)^{\alpha+n}(1\hspace{3}+\hspace{3}x)^{\beta+n}]$ 　
　
$\hspace{30}=\hspace{3}\frac{1}{2^n}\sum^{n}_{m=0}\left(\begin{array}{c}\hspace{3}n\hspace{3}+\hspace{3}\alpha\hspace{3}\\ m\hspace{3}\\ \end{array}\hspace{3}\right)\left(\begin{array}{c}\hspace{3}n\hspace{3}+\hspace{3}\beta\hspace{3}\\ n\hspace{3}-\hspace{3}m\hspace{3}\\ \end{array}\hspace{3}\right)(x\hspace{3}-1)^{n-m}(x\hspace{3}+\hspace{3}1)^m$
　
Legendre多項式
$P_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}P^{(0,\hspace{3}0)}_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}\frac{(-1)^n}{2^nn!}D^n[(1\hspace{3}-\hspace{3}x^2)^n]$
　
Tscebyscheffの多項式
$T_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}\frac{n!\sqrt{\pi}}{\Gamma(n\hspace{3}+\hspace{3}\frac{1}{2})}P^{(-\frac{1}{2},\hspace{3}-\frac{1}{2})}(x)$
　
$\hspace{30}=\hspace{3}\frac{(-1)^n}{1\cdot 3\cdot\hspace{3}\cdots\hspace{3}(2n-1)}(1\hspace{3}-\hspace{3}x^2)^{\frac{1}{2}}D^n[(1\hspace{3}-\hspace{3}x^2)^{n-\frac{1}{2}}]$
　
直交する様子を書くと次のようになる。
　
$\int^{\hspace{15} 1}_{\hspace{6} -1}(1\hspace{3}+\hspace{3}x)^\alpha(1\hspace{3}+\hspace{3}x)^{\beta}P^{(\alpha,\hspace{3}\beta)}_k(x)P^{(\alpha,\hspace{3}\beta)}_l(x)dx\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{15}(k\hspace{3}\neq\hspace{3}l)$
　
$\int^{\hspace{15} 1}_{\hspace{6} -1}P_k(x)P_l(x)dx\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{15}(k\hspace{3}\neq\hspace{3}l)$
　
$\int^{\hspace{15} 1}_{\hspace{6} -1}\frac{1}{\sqrt{1\hspace{3}-\hspace{3}x^2}}T_k(x)T_l(x)dx\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{15}(k\hspace{3}\neq\hspace{3}l)$
　
規格化積分は
　
$|P^{(\alpha,\hspace{3}\beta)}_n|^2\hspace{3}=\hspace{3}\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{(2n\hspace{3}+\hspace{3}\alpha\hspace{3}+\hspace{3}\beta\hspace{3}+\hspace{3}1)}\frac{\Gamma(n\hspace{3}+\hspace{3}\alpha\hspace{3}+\hspace{3}1)\Gamma(n\hspace{3}+\hspace{3}\beta\hspace{3}+\hspace{3}1)}{n!\Gamma(n\hspace{3}+\hspace{3}\alpha\hspace{3}+\hspace{3}\beta\hspace{3}+\hspace{3}1)}$
　
$|P_n|^2\hspace{3}=\hspace{3}\frac{2}{2n\hspace{3}+\hspace{3}1}$
　
$|T_n|^2\hspace{3}=\hspace{3}\frac{\pi}{2}$
　
$(a,\hspace{3}\infty)$ 区間の一般論
　
$X(x)\hspace{3}=\hspace{3}x\hspace{3}-\hspace{3}a$
$\rho(x)\hspace{3}=\hspace{3}e^{-x}(x\hspace{3}-\hspace{3}a)^\alpha\hspace{27}\alpha\hspace{3}>\hspace{3}-1$
　
に対し、
　
$F_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{\rho(x)}D^n[\rho(x)X(x)^n]\hspace{18}D\hspace{3}=\hspace{3}\frac{d}{dx}$
　
とおくと、これは n 次多項式になる。以下、有限区間の場合と同様である。
　
Sonineの多項式
$S^\mu_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}\frac{1}{n!}^xx^{-\mu}D^n[e^{-x}x^{\mu+n}]$
　
Laguerreの陪多項式
$L^m_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}(-1)^mn!S^m_{n-m}(x)$
　
Laguerreの多項式
$L_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}L^0_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}e^xD^n[e^{-x}x^n]$
　
規格化積分は
　
$\int^{\hspace{15} \infty}_{\hspace{6} 0}e^{-x}x^\mu S^\mu_k(x)S^\mu_l(x)dx\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{18}(k\hspace{3}\neq\hspace{3}l)$
　
$\int^{\hspace{15} \infty}_{\hspace{6} 0}e^{-x}x^m L^m_k(x)L^m_l(x)dx\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{18}(k\hspace{3}\neq\hspace{3}l)$
　
$\int^{\hspace{15} \infty}_{\hspace{6} 0}e^{-x} L_k(x)L_l(x)dx\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{18}(k\hspace{3}\neq\hspace{3}l)$
　
規格化積分
　
$|S^\mu_n|^2\hspace{3}=\hspace{3}\frac{\Gamma(n\hspace{3}+\hspace{3}\mu\hspace{3}+\hspace{3}1)}{n!}$
　
$|L^m_n|^2\hspace{3}=\hspace{3}\frac{(n!)^3}{(n\hspace{3}-\hspace{3}m)!}$
　
$|L_n|^2\hspace{3}=\hspace{3}(n!)^2$
　
$(-\infty,\hspace{3}\infty)$ 区間
　
$X(x)\hspace{3}=\hspace{3}1$
$\rho(x)\hspace{3}=\hspace{3}e^{-x^2}$
　
Hermite多項式
$H_n(x)\hspace{3}=\hspace{3}(-1)^ne^{x^2}D^n[e^{-x^2}]$
　
直交性と規格化は次のよう。
　
$\int^{\hspace{15}\infty}_{\hspace{6}-\infty}e^{-x^2}H_k(x)H_l(x)dx\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{18}(k\neq l)$
　
$|H_n|^2\hspace{3}=\hspace{3}2^nn!\sqrt{\pi}$
　
直交多項式が満たす微分方程式
各直交多項式が $\frac{1}{\rho(x)}D^n[\rho(x)X(x)^n]$ という形で書けることから、
それらが2次の微分方程式を満たすことが一般的に言える。　
「そう作ったんだからそうだろう」という話だが、なかなか面白いと思う。
各方程式に名前がついているところを見ると、別々に研究されたのだろうか。
が、ここでそれをタイプする元気はない。
以下は、「答」だけ。
　
Jacobi多項式 $p^{(\alpha,\hspace{3}\beta)}_n(x)$
$(1\hspace{3}-\hspace{3}x^2)\frac{d^2u}{dx^2}\hspace{3}+\hspace{3}\{\beta\hspace{3}-\hspace{3}\alpha\hspace{3}-\hspace{3}(\alpha\hspace{3}+\hspace{3}\beta\hspace{3}+\hspace{3}2)x\}\frac{du}{dx}\hspace{3}+\hspace{3}n(n\hspace{3}+\hspace{3}\alpha\hspace{3}+\hspace{3}\beta\hspace{3}+\hspace{3}1)u\hspace{3}=\hspace{3}0$
　
Tschebyscheffの多項式 $T_n(x)$
$(1\hspace{3}-\hspace{3}x^2)\frac{d^2u}{dx^2}\hspace{3}-\hspace{3}x\frac{du}{dx}\hspace{3}+\hspace{3}n^2u\hspace{3}=\hspace{3}0$
　
Legendreの多項式 $P_n(x)$
$(1\hspace{3}-\hspace{3}x^2)\frac{d^2u}{dx^2}\hspace{3}-\hspace{3}2x\frac{du}{dx}\hspace{3}+\hspace{3}n(n\hspace{3}+\hspace{3}1)u\hspace{3}=\hspace{3}0$
　
Soninenの多項式 $S^\mu_n(x)$
$x\frac{d^2u}{dx^2}\hspace{3}+\hspace{3}(\mu\hspace{3}+\hspace{3}1\hspace{3}- x)\frac{du}{dx}\hspace{3}+\hspace{3}nu\hspace{3}=\hspace{3}0$
　
Laguerreの陪多項式 $L^m_n(x)$
$x\frac{d^2u}{dx^2}\hspace{3}+\hspace{3}(m\hspace{3}+\hspace{3}1\hspace{3}- x)\frac{du}{dx}\hspace{3}+\hspace{3}(n\hspace{3}-m)u\hspace{3}=\hspace{の3}0$

Laguerreの多項式 $L_n(x)$
$x\frac{d^2u}{dx^2}\hspace{3}+\hspace{3}(1\hspace{3}- x)\frac{du}{dx}\hspace{3}+\hspace{3}nu\hspace{3}=\hspace{3}0$
　
Hermiteの多項式 $H_n(x)$
$\frac{d^2u}{dx^2}\hspace{3}-\hspace{3}2x\frac{du}{dx}\hspace{3}+\hspace{3}2nu\hspace{3}=\hspace{3}0$
　
タイプしてるだけで勉強になってないのでは？
などと言ってはいけない。
これもまた勉強である。