層の練習問題
息子の出題。
解答は主に息子が言ってたものを記録したものだが、記録が正確である保証はない。
問1
位相空間 、
と連続写像
があったとする。
このとき、 の開集合
に対し、
と定義すると、これは層になっていることを示せ。
答：
前層であることはわかる。
一意性：
が
の開被覆の各開集合の上で一致していたとする。
そうだとすると、 の任意の点で
と
は一致していると思う。
貼り合わせの存在：
みたいな感じとする。
これから写像 は作れるだろう。
しかし、これが連続写像であることを示さなければならない。
今、 を
の開集合とする。
すると、 であるが、
なので、
は開集合。
問2
なら、[tex:F*1] はどうなるか？
答：
[tex:F*2\hspace{3}=\hspace{3}Z]
つまり、各要素は定数値写像となる。
そうでない場合は矛盾するから。
たとえば、 の値が
とそれ以外になったとする。
すると、
ができるが、そうすると、
しかし、これは矛盾である。
問3
一般の位相空間 に対して
なら
はどうなるか？
答：
「 の連結成分上で定数値な写像」の集合。
問4
ただし、 は
をまるめたもので、そのは端っこでは
で同一視する。
この場合どうなる？
答：
（
は
は連結成分を示す添字）
