代数曲線入門1問1答 - ランダム勉強記録

元ネタ：代数曲線入門　梶原健
　
問題

問1
$S\hspace{3}\sub\hspace{3}T\hspace{3}\Longrightarrow\hspace{3}V(S)\hspace{3}\supset\hspace{3}V(T)$
答1

問2
[tex:V*1\hspace{3}=\hspace{3}A^n(k),\hspace{15}V(k\[X_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n\])\hspace{3}=\hspace{3}\emptyset]
答2

問3
[tex:V(S)\hspace{3}=\hspace{3}V()]
（ [tex:] は $S$ が生成するイデアル）
答3

問4
$V(\cup I_\alpha)\hspace{3}=\hspace{3}\cap V(I_\alpha)$
答4

問5
$V(I)\hspace{3}\cup\hspace{3}V(J)\hspace{3}=\hspace{3}V(IJ)\hspace{3}=\hspace{3}V(I\hspace{3}\cap\hspace{3}J)$
答5

問6
$V\hspace{3}\sub\hspace{3}W\hspace{3}\Longrightarrow\hspace{3}I(V)\hspace{3}\supset\hspace{3}I(W)$
答6

問7
$I(\emptyset)\hspace{3}=\hspace{3}k[X_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n]$
答7

問8
$k$ が無限体のとき $I(A^n(k))\hspace{3}=\hspace{3}(0)$
答8

問9
$I(V\hspace{3}\cup\hspace{3}W)\hspace{3}=\hspace{3}I(V)\hspace{3}\cap\hspace{3}I(W)$
答9

問10
$I(V\hspace{3}\cap\hspace{3}W)\hspace{3}\supset\hspace{3}I(V)\hspace{3}+\hspace{3}I(W)$
答10

問11
$I(\{(a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}a_n)\})\hspace{3}=\hspace{3}(X_1\hspace{3}-\hspace{3}a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n\hspace{3}-\hspace{3}a_n)$
答11

問12
$I(V(S))\hspace{3}\supset\hspace{3}S,\hspace{24}V(I(V(S)))\hspace{3}=\hspace{3}V(S)$
答12

問13
$V(I(W))\hspace{3}\supset\hspace{3}W,\hspace{24}I(V(I(W)))\hspace{3}=\hspace{3}I(W)$
答13

問14
$V$ が代数的集合なら $V\hspace{3}=\hspace{3}V(I(V))$ 。
答14

問15
$I$ がイデアルなら $I\hspace{3}=\hspace{3}I(V(I))$
答15

問16
代数的集合 $V$ 、 $W$ に対し、
$V\hspace{3}=\hspace{3}W\hspace{3}\Longleftrightarrow\hspace{3}I(V)\hspace{3}=\hspace{3}I(W)$
答16

問17
$I(V)$ は根基イデアル。
答17

解答

問1
当然である。

問2
当然である。

問3
問1より [tex:V(S)\hspace{3}\supset\hspace{3}V()] 。
[tex:V(S)\hspace{3}\sub\hspace{3}V()] はよく考えるとそう。

問4
問1より $V(\cup I_\alpha)\hspace{3}\sub\hspace{3}\cap V(I_\alpha)$ 。
$V(\cup I_\alpha)\hspace{3}\supset\hspace{3}\cap V(I_\alpha)$ はよく考えるとそう。

問5
$IJ\hspace{3}\sub\hspace{3}I\hspace{3}\cap\hspace{3}J\hspace{3}\sub\hspace{3}I,\hspace{3}J$ だから、問1より、
$V(I)\hspace{3}\cup\hspace{3}V(J)\hspace{3}\sub\hspace{3}V(I\hspace{3}\cap\hspace{3}J)\hspace{3}\sub\hspace{3}V(IJ)$
しかるに、 $V(I)\hspace{3}\cup\hspace{3}V(J)\hspace{3}\supset\hspace{3}V(IJ)$ が次のように言える。
もし、 $P\hspace{3}\in\hspace{3}V(IJ)\hspace{3}\backslash\hspace{3}V(I)$ だったとする。
$P\hspace{3}\notin\hspace{3}V(I)$ だから、ある $F\hspace{3}\in\hspace{3}I$ に対し $F(P)\hspace{3}\neq\hspace{3}0$ 。
しかし、 $P\hspace{3}\in\hspace{3}V(IJ)$ だから、すべての $G\hspace{3}\in\hspace{3}J$ に対し $(FG)(P)\hspace{3}=\hspace{3}F(P)G(P)\hspace{3}=\hspace{3}0$ 。
ゆえに $G(P)\hspace{3}=\hspace{3}0$ となり、 $P\hspace{3}\in\hspace{3}V(J)$ が言える。

問6
当然である。

問7
$1\hspace{3}\in\hspace{3}I(\emptyset)$ だから当然である。

問8
$n$ 次の多項式は高々 $n$ の異なる解しか持てないから当然である。

問9
$V,\hspace{3}W\hspace{3}\sub\hspace{3}V\hspace{3}\cup\hspace{3}W$ だから $I(V\hspace{3}\cup\hspace{3}W)\hspace{3}\sub\hspace{3}I(V)\hspace{3}\cap\hspace{3}I(W)$ 。
$I(V\hspace{3}\cup\hspace{3}W)\hspace{3}\supset\hspace{3}I(V)\hspace{3}\cap\hspace{3}I(W)$ はよく考えるとそう。

問10
当然である。

問11
当然な気がするのだがどうだろう。

問12
前半部分は当然である。
前半部分に問1を適用すると $V(I(V(S)))\hspace{3}\sub\hspace{3}V(S)$ 。
一方、 $V(S)$ に問13の前半部分を適用すると $V(I(V(S)))\hspace{3}\supset\hspace{3}V(S)$ 。

問13
前半部分は当然である。
前半部分に問6を適用すると、 $I(V(I(W)))\hspace{3}\sub\hspace{3}I(W)$ 。
一方、 $I(W)$ に問12の善は部分を適用すると $I(V(I(W)))\hspace{3}\supset\hspace{3}I(W)$ 。

問14
問12より明らか。

問15
問13より明らか。

問16
$V\hspace{3}=\hspace{3}W\hspace{3}\Rightarrow\hspace{3}I(V)\hspace{3}=\hspace{3}I(W)$ は明らか。
$V\hspace{3}=\hspace{3}W\hspace{3}\Leftarrow\hspace{3}I(V)\hspace{3}=\hspace{3}I(W)$ 　は問14から明らか。

問17
$F\hspace{3}\in\hspace{3}k[X_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n],\hspace{24}F^r\hspace{3}\in\hspace{3}I(V)$ 　とする。
すると、 $F(P)^r\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{18}(\forall P\hspace{3}\in\hspace{3}V)$ 。
これは $F(P)\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{18}(\forall P\hspace{3}\in\hspace{3}V)$ を意味する。

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