代数曲線入門1問1答 5

元ネタ：代数曲線入門　梶原健
　
問題

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問1　以下の用語の定義を述べよ。
（アフィン）（閉部分）多様体、超曲面、座標環
多項式関数、多項式写像、同型
答1

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問2
引き戻しの定義を述べよ。
答2

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問3
（多項式写像）、
（ 準同型写像）
があったする。このとき、 となるような
を見つけ、

と定義する。このとき、以下を示せ。
　
(0) そういう を見つけられる。
(1)
(2)
(3)
(4) の への制限は の選び方によらない。
(5) とすれば、
　　　 と は互いに逆写像になる。

答3

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問4　以下を示せ。
「 の多項式写像」と「 準同型」
は1対1に対応する。
特に、閉部分多様体の同型は座標環の 同型は対応する。
答4

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問5　以下を示せ。
上有限生成な整域 は、あるアフィン多様体 の座標環 と
代数として同型である。
に対して は同型を除いて一意的に定まる。
答5

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問6　以下の用語の定義を述べよ。
アフィン変換、関数体、有理関数、極、局所環、
有理関数の零点、
答6

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問7　以下を示せ。
の閉部分多様体 上の有理関数 の極からなる集合 は
と異なる の代数的集合である。
答7

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問8　以下を示せ。
の閉部分多様体 に対して 。
答8

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問9　以下を示せ。

答9

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問10
局所環の定義を述べよ。
答10

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問11
問10で述べる条件が同値であることを示せ。
答11

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問12　以下を示せ。
はネーター局所整域である。
答12

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問13　以下を示せ。
可換環 と に対し次の準同型は同型。

答13

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問14
を
でない 上の多項式関数とし、

とする。
このとき、以下を示せ。

(1) 同型 がある。
(2) は既約である。
(3) は から への全単射。
(4) 同型 がある。

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解答

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問1
（アフィン）（閉部分）多様体　：　 の既約な代数的集合。
超曲面　　　　：　1つの既約な多項式で定義されるアフィン多様体。
座標環　　　　：　 。
多項式関数　：　多項式で定義される関数に等しい関数。
　　　　　　　　　　その全体を と書く。 である。
多項式写像　：　多項式で定義される多様体間の射。
同型　　　　　：　 となるような射。

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問2
を閉部分多様体、
を多項式写像とする。
に対し次のように定義する を引き戻しという。

また、 を引き戻し写像という。
（ のかわりに を使って書いても同じ。）

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問3
(0)
なんだから、難しく考えずに見つけられる。
　
(1)

による剰余類と による剰余類を混ぜて書いているが、眼光紙背に徹すべし。
　
(2)
とすると 。
は 準同型だから、 。
これで、、、いいよね？

(3)
、 とする。
だから 。
　
(4)
の選び方には の不定性がある。
しかし、 上ではそれは である。
　
(5)
、 とする。

よって、 。

よって、 。

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問4
問3より明らか。

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問5
の 代数としての生成元を とすれば、 代数の全射準同型

を考えると
。
また、前問より、 の一意性が言える。
ちなみに、こっそり が整域と宣言されているから
が素イデアルであることは保証されている。

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問6
がんばれ。

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問7

（ただし、 は、 の剰余類）
とすると、 は を含む のイデアル。
すると、 が示せる。
とすると、 ということだから、 。
とすると、やっぱり、 とできて、
。
なんか当たり前な気がしてきた・・・。

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問8
は明らか。
有理関数で となるものを考える。
すると、 となるので、ヒルベルトの弱零点定理より、
は真のイデアルではない。
よって、 は を含むから、 。

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問9
考えてみると である。

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問10
以下のいずれかが成り立つ可換環 。
(1) はただ1つの極大イデアルを持つ。
(2) 可逆でない元全体 は の極大イデアル。
(3) 可逆でない元全体 は のイデアル。

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問11
(1) (2)
ただ1つの極大イデアルを とおく。
は明らか。
とすると は真のイデアルとなる。
一般に「可換間のイデアルにはそれを含む極大イデアルがある」が、
今の場合、極大イデアルは しかない。
よって、 。よって、 。

(2) (3)
明らか。

(3) (1)
に含まれないイデアルは可逆元をた含むから、
を含んでしまい、真のイデアルではない。
よって、 は極大イデアルであり、考えてみると、他に極大イデアルはない。

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問12
これまでの経緯から は局所環である。
またこれは（この1問1答では省略したが） を で
局所化したもの（ ）である。
はネーター整域であり、ネーター整域の局所化はネーター整域になる。

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問13

に対して準同型定理を適用する。
そして、 。

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問14
(1)
前問より、

という同型がある。
ところで、 ではないだろうか。
この同型で定義域を に限定すると の定義域を
から に変えたものに一致する。

(2)
(1)の同型で、 は整域なので、
たる は素イデアル。

(3)
よく考えるとそう。

(4)
(1)の同型を見てみると、そんな気がする。
（あとでもう少し考える。）