代数曲線入門1問1答 7 - ランダム勉強記録

元ネタ：代数曲線入門　梶原健

問題

問1
非特異の定義を述べよ。
答1

問2
$V$ は $A^n(k)$ の閉部分多様体
$I(V)\hspace{3}=\hspace{3}(F_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}F_m)$
$P\hspace{3}=\hspace{3}(a_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}a_n)\hspace{3}\in\hspace{3}V$
$P$ における $O(V)$ の極大イデアルを $m_P$ 、
$O(A^n(k))$ の極大イデアルを $n_P$ とする。
$m_p/m_P^2$ 、 $n_p/n_P^2$ を $k$ 線形空間とみる。
　この道具立てで以下を示せ。

(0) $k\hspace{3}\sim\hspace{3}O(V)/m_P\hspace{3}\sim\hspace{3}O(A^n(k))/n_p$

(1) $n_p/n_P^2$ は
$[X_1\hspace{3}-\hspace{3}a_1],\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}[X_n\hspace{3}-\hspace{3}a_n]$ を基底とする $n$ 次元 $k$ 線形空間。
ただし、 $[X_i\hspace{3}-\hspace{3}a_i]$ は $n_P/n_P^2$ の剰余類。

(2)
$\begin{array}n_P/n_P^2&\longrightarrow &m_P/m_P^2\\\vspace{10}&&\\[G(X_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}X_n)]&\rightarrow &[G(x_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}x_n)]\end{array}$
（ただし、 $x_i\hspace{3}=\hspace{3}X_i\hspace{3}mod\hspace{3}I(V)$ ）

の核は

$\sum^n_{j=1}\frac{\partial F_i}{\partial X_j}(P)[X_j\hspace{3}-\hspace{3}a_j]\hspace{12}(i\hspace{3}=\hspace{3}1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}m)$

(3)
[tex:dim_km_P/m_P^2\hspace{3}=\hspace{3}n\hspace{3}-\hspace{3}rank*1_{ij}]

答2

問3　以下は同値であることを示せ。
(1) $V$ は $P$ で非特異である。
(2) $rank(\frac{\partial F_i}{\partial X_j}(P))_{ij}\hspace{3}=\hspace{3}n\hspace{3}-\hspace{3}dim\hspace{3}V$
答3

問4　以下を示せ。
$A^n(k)$ の閉部分多様体 $V$ の特異点の集合は
$V$ と異なる $V$ の代数的集合である。
答4

解答

問1
$m_P\hspace{3}=\hspace{3}\{\hspace{3}f\hspace{3}\in\hspace{3}O(V)\hspace{3}|\hspace{3}f(P)\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{3}\}$ に対して、
$dim\hspace{3}V\hspace{3}=\hspace{3}dim_km_P/m_P^2$ のとき、 $V$ は $P$ で非特異であるという。
すべての点で非特異のとき、 $V$ は非特異であるという。

問2
(0)
そういうものである。

(1)
よく考えるとそうなる。
特に、 $P\hspace{3}=\hspace{3}0$ とすると楽。(2)も同様。

(2)
核は $(I(V)\hspace{3}+\hspace{3}n_P^2)/n_P^2$ 。
$[F_i]\hspace{3}=\hspace{3}\sum^n_{j=1}\frac{\partial F_i}{\partial X_j}(P)[X_j]\hspace{3}$ を証明できればよい。
$F_i\hspace{3}=\hspace{3}\sum_j\alpha_{ij}X_j\hspace{3}+\hspace{3}G_j\hspace{12}(\hspace{3}\alpha_{ij}\hspace{3}\in\hspace{3}k,\hspace{6}G_i\hspace{3}\in\hspace{3}n_P^2\hspace{3})$
と書いて $X_j$ で微分すると、
$\frac{\partial F_i}{\partial X_j}(P)\hspace{3}=\hspace{3}\alpha_{ij}\hspace{3}+\hspace{3}\frac{\partial G_i}{\partial X_j}(P)$
しかも、考えてみると、 $\frac{\partial G_i}{\partial X_j}(P)\hspace{3}=\hspace{3}0$ 。

(3)
$\sum^n_{j=1}A_{ij}[X_j]$ の生成する部分空間の次元は $A_{ij}$ のランクに等しい。
と、大学1年のとき習った気がする。
（先生は「この大学で何年も教えていてわかったことがある。
　　君たちに難しいことを教えてもどうせわからない。
　　だから、最低限のことを教えれば良いんだ、と」と笑顔で言ったような気がする。
　　いや、いい先生だったよ。）

問3
$dim_km_P/m_P^2\hspace{3}=\hspace{3}dim\hspace{3}V$ だから。

問4
ここに書くにはもう少し理解する必要がある。

*1:\frac{\partial F_i}{\partial X_j}(P