代数曲線入門1問1答 8

元ネタ：代数曲線入門　梶原健
今日の標語：
射影空間から逃げるな。射影空間はアフィン空間のおまけではない。

問題

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問1　以下の定義を述べよ。
射影空間（ ）
斉次座標（ ）
非斉次座標（ ）
に対する射影的代数的集合（ ）
のイデアル（ ）
答1

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問2
斉次イデアルの定義を述べよ。
答2

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問3　以下を示せ。
のイデアル が斉次イデアルであることと、
が斉次多項式で生成されることは同値である。
答3

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問4　以下を示せ。
が
に対し ならば、 。
答4

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問5　以下を示せ。
に対し は斉次イデアル。
答5

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問6　以下を示せ。
(1) [tex:\tilde{V}(S)\hspace{3}=\hspace{3}\tilde{V}()]
(2)
(3)
(4) [tex:\tilde{V}(S)\cup\tilde{V}(T)\hspace{3}=\hspace{3}\tilde{V}(ST)\hspace{3}=\hspace{3}\tilde{V}(\cap)]
(5)
答6

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問7
(1) 。
(2) 、
(3)
(4) が無限体なら
(5) 、
(6) 、
答7

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問8　以下を示せ。
は
で生成されるイデアル。
答8

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問9
「 の射影的代数的集合 上の錘」の定義を述べよ。
答9

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問10　以下を示せ。
(1) 空でない に対し、 。
(2) 斉次イデアル に対し、 。
答10

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問11　以下を示せ。
(1) と
　　 が大きな次数の斉次多項式をすべて含むことは同値である。
(2)
答11

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問12　次を示せ。
斉次イデアル が素イデアルであることは、斉次多項式 に対し、

となることが同値。
答12

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問13
の射影的代数的集合 の集合と
とは異なる の根基斉次イデアル の集合は、
により1対1に対応する。
この対応は包含関係を逆にする。
また、射影多様体と素イデアルが対応する。
答13

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問14
の空でない射影的代数的集合 は
互いに含まない既約射影代数的集合 の和集合として一意的に

と書ける。
答14

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解答

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問1
がんばれ。

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問2
のイデアル について、
の各斉次成分 が に含まれる。

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問3
斉次イデアルが斉次多項式で生成されるのは明らか。
逆も考えてみるとそう。

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問4
に対し とは を表す
すべての斉次座標の値をいれて、どれでも ということである。
とする。
すると、 。
は無限体なので 。
したがって、その各斉次部分も 。

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問5
問3、問4より明らか。

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問6
がんばれ。

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問7
がんばれ。

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問8
は明らか。
斉次多項式 を考える。
のとき、これを たちで割りまくった余りは、
のみに関する斉次多項式である。
それは などである。
よって、
となるが、
だから、 。

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問9

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問10
よく考えるとわかる。

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問11
(1)
のときは自明。
それ以外の場合を考える。


これは題意と同値である。
(2)

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問12
素イデアルなら当然 。
その逆は、一般の多項式について考えればよいが、
「 」を証明する。
のとき、 に含まれない最大の斉次成分を とする。
すると、 。
ではあるので、 となり、
結局、 が言えた。

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問13
これまでの経緯を考えればだいたい明らか。
斉次イデアルが素かどうかは斉次多項式だけで考えてよいので、
既約部分と素イデアルの対応も（比較的？）簡単にわかる。

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問14
と書ける。
を 内の斉次多項式で生成される斉次イデアルとすると、
は素イデアルであり、上記の表記が一意的であることから、
がわかる。
が斉次素イデアルとなるから、 とおける。