環 1/1
元ネタ：現代代数学 服部昭
§9環
命題9.1
を単位元をもつ環とする。
の単数（可逆元）は零因子ではない。
命題9.2
単位元をもつ可換環のイデアル について
なら
。
命題9.3
を
の真部分集合、
を
のイデアルで
の元を含まないものとすると、
を含み
の元を含まないイデアル
の中に極大のものがある。
系9.4
単位元を持つ環 において、
を任意のイデアル
とすると、
を含む極大イデアルがある。
定理9.5
とするとき、
の左（右、両側）イデアル
で
を含むものと
の左（右、両側）イデアル
とは、
の関係で1対1に対応する。
定理9.6
単位元をもつ環 が斜体をなすことと
が
、
以外に左イデアルをもたないこととは同値である。
右イデアルも同様。
定理9.7
を全射準同型とする。
のイデアル
に対し
は
のイデアルをなし
。特に、
の核はイデアルをなし
。
系9.8
単純環（とくに体）からの でない準同型はすべて単射である。
定理9.9
を
の部分間、
を
のイデアルとすれば、
は
のイデアルをなし、次の環同型が成り立つ。
命題9.10
を
のイデアルで
を満たすものとする。
とおけば、
。
定理9.11
の左（右）イデアルへの直和分解
は の直交ベキ等元への分解
に1対1に対応する。
命題9.12
1) 標数 の整域においては、
について
。
2) 標数 の整域においては、任意の
について
。
また、対応 は
の自己準同型で単射である。
§10多項式環
命題10.1
で
の最高次係数は
の単数とする。
そのとき、 で
を満たすものが存在する。
が整域なら
は一意的に定まる。
命題10.2
を
の拡大環とする。
が
の根をなすためには、
が
において
を因子に持つことが必要十分である。
命題10.3
整域 における
次多項式
は、
の拡大整域
において
個より多くの異なる根を持たない。
命題10.4
が無限個の元を含む整域であれば、対応
は単射。
命題10.6
は
の可換拡大環で
と
によって生成されるとする。
このとき、環の全射準同型 が存在する。
§11局所化
定理11.1
可換環の準同型 が
を満たすとする。
このとき、準同型 で
を
満たすものが唯一つある。
命題11.2
単位元を持つ可換環 が局所環をなすためには、
の非単数の全体の集合
がイデアルをなすことが必要十分である。
§12素因子分解
命題12.1
単項イデアル整域 の元
についてつぎは同値である。
1) は素数。
2) 。
3) は素イデアル。
4) は極大イデアル。
定理12.2
単項イデアル整域は一意分解環である。
定理12.3
が一意分解環ならば
も一意分解環である。
系12.4
体上の多項式環、有理整数係数の多項式環などは一意分解環である。
命題12.5 ガウスの補題
。
特に、原始多項式の積はまた原始的。
系12.6
の既約多項式は
においても既約。
命題12.7
体 とその加法付値
に対し
： 付値環
： 付値イデアル
とすると、 は
を極大イデアルとする局所環であり、
。
命題12.8
一意分解環 の
-進付値環は
の素イデアル
における
局所環 である。
のイデアルは
で与えられる。さらに、
。
§13ネタ―環
命題13.1
がネタ―環ならば、その準同型像もネタ―環である。
定理13.2 ヒルベルトの基底定理
がネタ―環ならば、
もネタ―環である。
系13.3
ネタ―環上有限生成の可換環はまたネタ―環である。
定理13.4
がネタ―環ならば、
もネタ―環である。
定理13.5
は
を含む素イデアル全体の共通部分に等しい。
特に、 のベキ零根基は
の素イデアル全体の共通部分に等しい。
命題13.6
準素イデアル の根基
は
を含む最小の素イデアルである。
定理13.7
ネタ―環 のイデアル
は有限個の準素イデアルの共通部分として表される。
このような表示で無駄のないものにおいて の形に表される素イデアルは
によって一意的に定まる。
補題1
ネタ―環のイデアルは有限個の既約イデアルの共通部分として表される。
補題3
を
のイデアル、
を素イデアルとするとき、つぎは同値である。
1) は
の準素イデアルによるむだのない表示における
と一致する。
2) に属さない元
でイデアル商
が
-準素イデアルをなすものがある。
補題4
、
がともに
-準素イデアルならば、
も
-準素イデアルである。
命題13.8
を含む極小イデアルと
の極小素因子とは同値な概念である。
環終了。
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