加群 1/2 - ランダム勉強記録

§15　加群
命題15.1
$A$ -加群の完全系列
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}N\hspace{3}\longrightarrow ^h\hspace{3}N'\hspace{3}\longrightarrow ^{h'}\hspace{3}N''\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$
から引き起こされる
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Hom_A(M,\hspace{3}N)\hspace{3}\longrightarrow ^{h_*}\hspace{3}Hom_A(M,\hspace{3}N')\hspace{3}\longrightarrow ^{h'_*}\hspace{3}Hom_A(M,\hspace{3}N'')$
は完全系列をなす。
もし、分解型なら
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Hom_A(M,\hspace{3}N)\hspace{3}\longrightarrow ^{h_*}\hspace{3}Hom_A(M,\hspace{3}N')\hspace{3}\longrightarrow ^{h'_*}\hspace{3}Hom_A(M,\hspace{3}N'')\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$
も分解型完全系列。

命題15.2
$A$ -加群の完全系列
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow ^{g}\hspace{3}M'\hspace{3}\longrightarrow ^{g'}\hspace{3}M''\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$
から引き起こされる
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Hom_A(M'',\hspace{3}N)\hspace{3}\longrightarrow ^{g'^*}\hspace{3}Hom_A(M',\hspace{3}N)\hspace{3}\longrightarrow ^{g^*}\hspace{3}Hom_A(M,\hspace{3}N)$
は完全系列をなす。
もし、分解型なら
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Hom_A(M'',\hspace{3}N)\hspace{3}\longrightarrow ^{g'^*}\hspace{3}Hom_A(M',\hspace{3}N)\hspace{3}\longrightarrow ^{g^*}\hspace{3}Hom_A(M,\hspace{3}N)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$
も分解型完全系列。

命題15.3
$Hom_A(M,\hspace{3}{\small{\prod}}N_\nu)\hspace{3}\simeq\hspace{3}{\small{\prod}}Hom_A(M,\hspace{3}N_\nu)$
$Hom_A({\small{\coprod}}M_\mu,\hspace{3}N)\hspace{3}\simeq\hspace{3}{\small{\prod}}Hom_A(M_\mu,\hspace{3}N)$

命題15.4
$Hom_A(M,\hspace{3}\lim_{\leftarrow}N_\nu)\hspace{3}\simeq\hspace{3}\lim_{\leftarrow}Hom_A(M,\hspace{3}N_\nu)$
$Hom_A(\lim_{\rightarrow}M_\mu,\hspace{3}N)\hspace{3}\simeq\hspace{3}\lim_{\leftarrow}Hom_A(M_\mu,\hspace{3}N)$

命題15.5
$Hom_A(A,\hspace{3}N)\hspace{3}\simeq\hspace{3}N\hspace{12}(\hspace{3}f\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}f(1)\hspace{3})$

定理15.6　シューアの補題
$M$ 、 $N$ を既約な $A$ -加群とすれば、 $0$ でない $A$ -準同型 $M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}N$ は同型である。
特に自己準同型環 $E_A(M)$ は斜体をなす。

定理15.7
$M$ が完全可約であるためには、
$M$ の任意の $A$ -部分加群が $A$ -直和因子であることが必要十分である。

定理15.8
完全可約加群 $M$ の部分加群 $N$ はまた完全可約である。

命題15.9
1) $M$ が直既約であるためには、
　　 $E_A(M)$ が片側イデアルの直和に分解しないことが必要十分である。
2) $M$ が直既約で両連鎖律を満たせば、
　　 $E_A(M)$ の非可逆元の全体 $I(M)$ は唯一の極大イデアルをなし、
　　その元はすべてベキ零である。

命題15.10
極小条件を満たす加群 $M$ は有限個の直既約加群の直和として表される。

命題15.11　クルル・シュミットの定理
両連鎖律を満たす加群 $M$ が直既約加群への2通りの直和分解

　　　 $M\hspace{3}=\hspace{3}M_1\hspace{3}\oplus\hspace{3}\cdots\hspace{3}\oplus\hspace{3}M_m\hspace{3}=\hspace{3}N_1\hspace{3}\oplus\hspace{3}\cdots\hspace{3}\oplus\hspace{3}N_n$
　
を持つとする。すると、 $m\hspace{3}=\hspace{3}n$ で、 $\{1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}m\}$ の置換 $\pi$ があって $M\hspace{3}\simeq\hspace{3}N_{\pi(i)}$ かつ

　　　 $M\hspace{3}=\hspace{3}N_{\pi(1)}\hspace{3}\oplus\hspace{3}\cdots\hspace{3}\oplus\hspace{3}N_{\pi(\lambda)}\hspace{3}\oplus\hspace{3}M_{\lambda+1}\hspace{3}\oplus\hspace{3}\cdots\hspace{3}\oplus\hspace{3}M_m\hspace{18}(\hspace{3}\lambda\hspace{3}=\hspace{3}0,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}m\hspace{3})$

§16　射影加群
命題16.1
$A$ -加群 $F$ について次は同値である。
1) $F\hspace{3}\simeq\hspace{3}{\small{\coprod}}A_i\hspace{12}(\hspace{3}A_i\hspace{3}\simeq\hspace{3}A\hspace{3})$
2) $F$ の部分集合 $\{u_i\}$ があって
　　 $F$ の元は1次結合 $\sum a_iu_i$ （ $a_i\hspace{3}\in\hspace{3}A$ で有限個を除いて $0$ ）の形に一意的に表される。

命題16.2
階数 $n$ の $A$ -自由加群の自己準同型環は
$A$ の元を成分とする $n$ 次正方行列の環 $M_n(A)$ と逆同型である。

命題16.3
任意の $A$ -加群 $M$ に対し $A$ 自由加群からの全射 $A$ -準同型 $F\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M$ が存在する。
もし $M$ が $r$ 個の元で生成されれば $F$ は階数 $r$ に取れる。

命題16.4
$A$ -加群 $P$ について次は同値である。
1) 全射準同型 $h\hspace{3}:\hspace{3}N\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}N'$ の引き起こす
$h_*\hspace{3}:\hspace{3}Hom_A(P,\hspace{3}N)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Hom_A(P,\hspace{3}N')$ は全射準同型である。
2) $A$ -加群の拡大で次の形のものは分解型である。
　　 $0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}P''\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}P'\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}P\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$
3) $P$ はある自由加群の直和因子と同型である。

命題16.5
1) $P_i$ がすべて射影的ならば ${\small{\coprod}}P_i$ も射影的。
2) $P_1\hspace{3}\oplus\hspace{3}P_2$ が射影的なら $P_1,\hspace{6}P_2$ はともに射影的。
3)
　　 $0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}P''\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}P'\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}P\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$

　において $P'',\hspace{6}P$ が射影的なら、 $P'$ も射影的。

命題16.6
$P$ を有限生成射影加群とすれば $P^*$ も有限生成射影加群で
$\mu_P\hspace{3}:\hspace{3}P\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}P^{**}$ は $A$ -同型。
$P$ が特に階数 $n$ の自由加群ならば $P^*$ も階数 $n$ の自由加群である。

命題16.7
$A$ -左加群 $P$ が有限生成射影加群をなすための必要十分条件は
$x_i\hspace{3}\in\hspace{3}P,\hspace{9}\xi_i\hspace{3}\in\hspace{3}P^*\hspace{9}(\hspace{3}i\hspace{3}=\hspace{3}0,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}n\hspace{3})$ で
　　 $\sum \xi_i(x)x_i\hspace{3}=\hspace{3}x$
を満たすものが存在することである。

命題16.8
$A$ -加群 $Q$ について次は同値である。
1) 全射準同型 $g\hspace{3}:\hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M'$ の引き起こす
$g^*\hspace{3}:\hspace{3}Hom_A(M',\hspace{3}Q)\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Hom_A(M,\hspace{3}Q)$ は全射準同型である。
2) $A$ -加群の拡大で次の形のものは分解型である。
　　 $0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Q\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Q'\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}Q''\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0$

§17　根基と半単純性
定理17.1
$A$ の根基は $R(A)$ の両側イデアルで、あらゆる既約 $A$ -加群 $S$ の零化イデアル
$ann\hspace{3}S\hspace{3}=\hspace{3}\{\hspace{3}a\hspace{3}\in\hspace{3}A\hspace{3}|\hspace{3}aS\hspace{3}=\hspace{3}0\hspace{3}\}$ の全体の共通部分に等しい。

命題17.2
有限生成加群 $(\hspace{3}\neq\hspace{3}0\hspace{3})$ は極大部分加群を持つ。

命題17.3　中山の補題
有限生成加群 $M$ の部分加群 $N$ が $M\hspace{3}=\hspace{3}N\hspace{3}+\hspace{3}R(A)M$ を満たせば
$N\hspace{3}=\hspace{3}M$ 。

命題17.4
$A$ の元 $r$ が $R(A)$ に属することと、すべての $a\hspace{3}\in\hspace{3}A$ について
$1\hspace{3}-\hspace{3}ar$ が左逆元をもつことは同値である。

系17.5
ベキ零元から成る左イデアル $m$ は $R(A)$ に含まれる。

定理17.6
$R(A)$ は次の性質を持つ両側イデアル $I$ のうち最大のものである。
　　 $a\hspace{3}\in\hspace{3}I$ ならば $1\hspace{3}-\hspace{3}a$ は可逆元。

系17.7
$R(A)$ は極大右イデアル全体の共通部分に等しく、
ベキ零元から成る右イデアルをすべて含む。

命題17.8
左アルティン環 $A$ 上の有限生成加群 $M$ はアルティン的である。

定理17.9
左アルティン環 $A$ の根基 $R(A)$ は $A$ の最大のベキ零イデアルに等しい。

系17.10
可換アルティン環の根基はベキ零根基と一致する。

定理17.11
環 $A$ について、次は同値である。
1) すべての左加群は完全可約である。
2) すべての左加群は射影的である。
3) 左アルティン的で $R(A)\hspace{3}=\hspace{3}0$ 。
4) 左アルティン的で、有限個の単純環の直積である。
5) 斜体 $D_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}D_r$ があって $A\hspace{3}\simeq\hspace{3}M_{n_1}(D_1)\hspace{3}\times\hspace{3}\cdots\hspace{3}\times\hspace{3}M_{n_r}(D_r)$ 。

定理17.12
左アルティン環 $A$ について、 $A/R(A)$ は半単純環である。

定理17.3
環 $A$ について次は同値である。
1) アルティン的単純環。
2) 斜体上の全行列環 $M_n(D)$ と同型。
3) 極小左イデアルは互いに同型であり、 $A$ は極小左イデアルの直和として表される。

§18　テンソル積
命題18.1
テンソル積は同型を除いて一意的に定まる。

命題18.2
$M\otimes_AN$ の元は有限和 $\sum x_i\otimes y_i\hspace{9}(\hspace{3}x_i\hspace{3}\in\hspace{3}M,\hspace{6}y_i\hspace{3}\in\hspace{3}N\hspace{3})$ の形に表される。

命題18.3
$f\hspace{3}\in\hspace{3}Hom_A(M,\hspace{3}M'),\hspace{9}g\hspace{3}\in\hspace{3}Hom_A(N,\hspace{3}N')$ に対し、
$h\hspace{3}\in\hspace{3}Hom(M\otimes_AN,\hspace{3}M'\otimes_AN')$ で $h(x\otimes y)\hspace{3}=\hspace{3}f(x)\otimes g(y)$ 。

命題18.4
$({\small{\coprod}}M_\nu)\otimes_AN\hspace{3}\simeq\hspace{3}{\small{\coprod}}(M_\nu\otimes_AN)$
$(\lim_{\rightarrow}M_\nu)\otimes_AN\hspace{3}\simeq\hspace{3}\lim_{\rightarrow}(M_\nu\otimes_AN)$

命題18.5
$M$ が $\{u_\mu\}$ を基底とする自由加群であれば $M\otimes_AN$ の元は
${\small{\sum}}u_\mu\otimes y_\mu$ （ $y_\mu\hspace{3}\in\hspace{3}N$ で有限個を除いて $0$ ）の形に一意的に表される。

命題18.6
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M\hspace{3}\longrightarrow ^f\hspace{3}M'\hspace{3}\longrightarrow ^{f'}\hspace{3}M''\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0\hspace{3}$
を $A$ -右加群の完全系列、 $N$ を $A$ -左加群とするとき、
$M\otimes_AN\hspace{3}\longrightarrow ^{f\otimes_A1}\hspace{3}M'\otimes_AN\hspace{3}\longrightarrow ^{f'\otimes_A1}\hspace{3}M''\otimes_AN\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0\hspace{3}$
は完全系列をなす。もし、はじめの系列が分解型なら
$0\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}M\otimes_AN\hspace{3}\longrightarrow ^{f\otimes_A1}\hspace{3}M'\otimes_AN\hspace{3}\longrightarrow ^{f'\otimes_A1}\hspace{3}M''\otimes_AN\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}0\hspace{3}$
も分解型完全系列。

命題18.7
射影加群は平坦である。

定理18.8
テンソル積 $M\otimes_AN$ は存在して、同型を除いて一意的に定まる。

命題18.9
$L\hspace{3}\in\hspace{3}Mod_B,\hspace{9}M\hspace{3}\in\hspace{3}{}_BMod_A,\hspace{9}N\hspace{3}\in\hspace{3}{}_AMod$ のとき、
$(L\hspace{3}\otimes_B\hspace{3}M)\hspace{3}\otimes_A\hspace{3}N\hspace{3}\simeq\hspace{3}L\hspace{3}\otimes_B\hspace{3}(M\hspace{3}\otimes_A\hspace{3}N)\hspace{18}(\hspace{3}(w\otimes x)\otimes y\hspace{3}\rightarrow \hspace{3}w\hspace{3}\otimes (x\hspace{3}\otimes y)\hspace{3})$

命題18.10
$L\hspace{3}\in\hspace{3}{}_BMod,\hspace{9}M\hspace{3}\in\hspace{3}{}_BMod_A,\hspace{9}N\hspace{3}\in\hspace{3}{}_AMod$ のとき、
$Hom_B(M\hspace{3}\otimes_A\hspace{3}N,\hspace{3}L)\hspace{3}\simeq\hspace{3}Hom_A(N,\hspace{3}Hom_B(M,\hspace{3}N))$

命題18.11
$F_1$ 、 $F_2$ がともに $R$ -自由加群で、それぞれ $\{u_i\}$ 、 $\{v_i\}$ を基底に持てば、
$F_1\otimes_RF_2$ も $R$ -自由加群で $\{u_i\otimes v_j\}$ を基底に持つ。

命題18.12
$M_1,\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}M_n$ が $R$ -有限生成加群ならば
$M_1\otimes_R\hspace{3}\cdots\hspace{3}\otimes_RM_n$ も有限生成射影的で、
$M_1^*\otimes_R\hspace{3}\cdots\hspace{3}\otimes_RM_n^*\hspace{3}\simeq\hspace{3}(M_1\otimes_R\hspace{3}\cdots\hspace{3}\otimes_RM_n)^*$
　　　　　　　　　　　 $\hspace{3}\simeq\hspace{3}L(M_1,\hspace{3}\otimes_R\hspace{3}\cdots\hspace{3},\hspace{3}M_n;\hspace{3}R)$

命題18.13
$P$ を有限生成な $A$ -射影加群、 $N$ を $A$ -加群とするとき、
$\tau\hspace{3}:\hspace{3}P^*\otimes_AN\hspace{3}\simeq\hspace{3}Hom_A(P,\hspace{3}N)\hspace{12}(\hspace{3}\tau(\xi\otimes y)(x)\hspace{3}=\hspace{3}\xi(x)y\hspace{3})$

命題18.14
$A$ -加群 $N$ が自由もしくは射影的になるに応じて $B$ -加群 $i_\varphi(N)$ も自由もしくは射影的。

命題18.15
記号 $x/s$ （ $(\hspace{3}x\hspace{3}\in\hspace{3}N,\hspace{9}s\hspace{3}\in\hspace{3}R\backslash p\hspace{3})$ ）の間に
　　 $x_1/s_1\hspace{3}=\hspace{3}x_2/s_2\hspace{9}\Longleftrightarrow\hspace{9}\exists s\hspace{3}\in\hspace{3}R\backslash p\hspace{6}s(s_2x_1\hspace{3}-\hspace{3}s_1x_2)\hspace{3}=\hspace{3}0$
なる同一視を行い、その全体の集合に
　　 $x/s\hspace{3}+\hspace{3}x'/s'\hspace{3}=\hspace{3}(s'x\hspace{3}+\hspace{3}sx')/ss'$
　　 $(a/s)(x/s')\hspace{3}=\hspace{3}(ax)/(ss')$
なる演算を与えて得られる [texR_p]-加群は $N_p\hspace{3}=\hspace{3}R_p\otimes_RN$ と同型。

命題18.16
$R$ -加群 $R_p$ は平坦である。
特に、整域 $R$ の商体 $K$ は $R$ -加群として平坦である。

命題18.17
$\{m\}$ を $R$ の極大イデアルの全体とするとき、 $\iota_m\hspace{3}:\hspace{3}N\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}N_m\hspace{6}(\iota_m(x)\hspace{3}=\hspace{3}1\otimes x\hspace{3})$ の
引き起こす $R$ -準同型 ${\small{\prod}}\iota_m\hspace{3}:\hspace{3}N\hspace{3}\longrightarrow \hspace{3}{\small{\prod}}N_m$ は単射である。