加群2/2

§19　デデキント環と加群

この節では分数イデアルをイデアルとよぶ。

命題19.1
イデアル が -加群として同型であることと、
なる があることは同値。

命題19.2
が可逆であることと -射影的であることは同値で、
このとき、 は有限生成なイデアルである。

以下、環はすべてデデキント環とする。

命題19.3
と なる整イデアル の存在とは同値。

定理19.4
1) デデキント環 は整閉ネタ―環で、その素イデアルは極大である。
2) 任意のイデアルは素イデアルのベキ積 の形に一意的に表される。

定理19.5
素イデアル による剰余環 は単項イデアル環である。

系19.6
任意の整イデアル に対し、 なる がある。

命題19.7
入射 の引き起こす において
。

定理19.8
1) 自由加群の部分加群には捩れがない。
2) 捩れがない有限生成加群 は階数有限の自由加群の部分加群と同型になる。

定理19.9
デデキント環 上の加群 については次は同値である。
1) 有限生成で捩れがない。
2) 有限生成で射影的である。
3) 有限個のイデアルの直和 と同型である。

系19.10
デデキント環上の有限生成加群 は と有限生成射影加群の直和である。

系19.11
単項イデアル整域上の加群 について次は同値である。
1) 有限生成で捩れがない。
2) 有限生成で射影的である。
3) 階数有限の自由加群である。

定理19.12
デデキント環 のイデアルの直和 と が
同型であるためには、 で となることが
必要十分である。

定理19.13
単項イデアル整域 上の有限生成加群 は、
巡回加群の直和 と同型である。
ここに は にとることができ、
そのようにするとき同伴性を除いて一意的に定まる。

定理19.14
を単項イデアル整域 上の階数 の自由加群、 を部分加群とする。
そのとき の基底 、 の元 で
が の基底をなすものが存在する。
は前定理に述べた意味で一意的である。

§20　多元環

定理20.1　マシュケの定理
を位数 の有限群、 を標数が と互いに素な体とする。
そのとき、 の -加群による表現はすべて完全可約である。
すなわち、群環 は半単純である。

定理20.2
、、 を 上の多元環とする。
もし、多元環準同型 があって、
の元と の元が可換なら、多元環準同型 で
を満たすものが唯一つある。
もし、 が と によって生成されるなら、 は全射となる。

§21　次数多元環

定理21.1
から 上の多元環 への線形写像 は多元環準同型
に一意的に拡張される。

命題21.2
が を基底とする自由加群であるならば、
は の形の元全体を基底とする自由加群である。

命題21.3

命題21.4
が を基底とする自由加群ならば、
について 、
について は の全体を基底とする自由加群である。
は階数 の自由加群である。