微分可能多様体1
元ネタ：微分幾何学 今野宏
級多様体の定義を述べよ。
の定義を述べよ。
接ベクトルの定義を述べよ。
の基底を1つ挙げよ。
とは何か。
の微分とは何か。
の正則点とは何か。
の正則値とは何か。
接束の定義を述べよ。
ベクトル場の定義を述べよ。
1.2 ベクトル束
ベクトル束の定義を述べよ。（ ）
ファイバーとは何か。
局所自明化の定義を述べよ。
切断とは何か。（ ）
枠場とは何か。
ベクトル束の同型とはどういうものか。
から
を構成せよ。
双対ベクトル束 とは何か。
双対枠場とは何だろうか。
ベクトル束の直和（Whittney和）とテンソル積の定義を言え。
縮約とは何か。
引き戻し の定義を述べよ。
ただし、 、
とする。
1.4 微分形式
外積代数 、
を構成せよ。
次対称形式、交代形式とは何か。
と
の同一視を言え。
に対し、
とはどんなものかね。
次微分形式とは何か。
またそれらがなす加群 とはどんなものか。
とは何か。
が定める多重線型写像とはどのようなものか。
外微分の定義を述べよ。
外微分の具体的な形を説明せよ。
外微分と引き戻しの関係を述べよ。
ド・ラームコホモロジーの定義を述べよ。
1の分解とは何か。
形式の積分とは何か。
1.6 ベクトル場とLie微分
ベクトル場 の積分曲線とは何か。
1パラメータ変換群の定義を述べよ。
1パラメータ変換群とベクトル場の関係を述べよ。
Lie微分の定義を述べよ。
テンソル場とは何か。
Lie微分と縮約の関係を述べよ。
内部積の定義を述べよ。
分布が完全積分可能とはどういうことか。
分布が包合的とはどういうことか。
フロベニウスの定理を述べよ。
数学リハビリ（代数的集合）
（
） ： 代数的集合
： 無限体
： イデアル
主張1
主張2
主張3
主張4
[tex:V(S)\hspace{3}\cup\hspace{3}V(T)\hspace{3}=\hspace{3}V(\hspace{3}\cap\hspace{3}
主張5
主張6
主張7
主張8
（証明）
は明らか。
とする。
を
で順々に割っていくと余りは
となる。
すると、 であるべきだから、
。□
主張9
主張10
主張11
が代数的集合なら
がある部分集合のイデアルなら
主張12
、
が代数的集合なら
感想
ま、リハビリだから。
数学リハビリ（多項式環）
ここでは、 を素元分解整域とする。
主張1
を係数とする多項式
が
で割り切れるなら、
の各係数が
で割り切れる。
（証明）
そうだよね。□
主張2
を係数とする多項式の環
で規約な多項式は
係数を の商体
に拡張した多項式の環
でも規約である。
（証明）
が既約とする。
これを の元と考え
に分解できたとする。
これに の元を適当にかけると
での因数分解
が得られる。
を素元分解して、その1つの因子を
と書き、
と書くと、
と
より
または
となる。
とすると、
より
または
となる。
この操作を繰り返していくと、 または
であることがわかる。
（数学の証明はもっとかっこよく書くのだろう。）
以上より、 の世界で
となる。
しかるに、 の世界では
は既約なので
または
となる。
、
は、これらに
の元を掛けたものだから、
または
。□
主張3
を体とすると
は単項イデアル整域である。
（証明）
では小学生的割り算ができる。（ので、ユークリッド整域である。）
の任意のイデアルを
とすると、
の次数を
と書いて、
なる集合ができる。
は自然数（整列集合）なので、
には最小値があり、
その最小値に対応する元を とする。
（要するに、 は
内の最小次数の多項式である。）
すると、任意の に対して、割り算を実行して
と書けるが、
これを として考えると、
となる。
この の次数は
のものより小さいはずであるが、「
の次数が最小」という事実と
矛盾しないためには でなければならない。□
主張4
単項イデアル整域は素元分解整域である。
（略証）
任意のイデアルにはそれを含む極大イデアルが存在する。
を含む極大イデアルを
とすると、
、すなわち、
と書ける。
が単元なら分解完了である。
単元でない場合は、同様に とでき、
となる。
ここで が単元なら分解完了である。
単元でない場合・・・と繰り返していき、いつまでも単元にならなかったとする。
すると、 という無限に続くイデアルの増大列ができる。
しかし、 もイデアルであるから、
のように表されるはずである。
そうすると、あるとき、 となるはずであり、
すると、 となってしまい矛盾する。□
主張5
整域において素元は既約元である。
（証明）
素元 が
と書けたとする。
すると、 または
となる。
前者だとすると、 となり、
となる。
すると、 となり、
が単元であることがわかる。□
主張6
素元分解整域において既約元は素元である。
（証明）
既約元 を素元分解して
になったとする。
ところが、素元は既約元なので、 以外ありえない。□
主張7
単項イデアル整域において 以外の素イデアルは極大イデアルである。
（証明）
を素元として、
を含むイデアル
があったとする。
すると、もう勝負あった気がするが、 と書ける。
が素元なので、
か
と書ける。
すると か
となる。
前者は を意味し、後者は
を意味する。□
主張7の系
体 を係数とする多項式環
において、
が既約多項式とすると、
は極大イデアルである。
主張8
を係数とする多項式環
において、
既約多項式は素元である。
（証明）
帰納法を使う。
では自明に成立している。
までで成立しているとする。
が既約とすると、
は
でも既約。
ここでは既約元が素元だから、 なら
か
。
たとえば、 とすると、
の世界で
。
これに の元を適当に掛ければ、
の世界で、
（
）。
主張2の証明と同様に考えれば、 の既約因子で
か
が割れる。
しかし、 は既約だから、割れるのは
のみ。
よって、 の既約因子で割っていって
となる。□
主張9
を係数とする多項式環
は素元分解整域である。
感想
数学的には主張9辺りが重要なのだと思う。
しかし、テクニック的には、主張1、主張2が重要な気がする。
真ん中辺の証明は堀田先生の「代数入門」を見た。
それ以外（の主要部）は梶原先生の「代数曲線入門」を見た。
加群2/2
命題19.1
イデアル が
-加群として同型であることと、
なる
があることは同値。
命題19.2
が可逆であることと
-射影的であることは同値で、
このとき、 は有限生成なイデアルである。
以下、環はすべてデデキント環とする。
命題19.3
と
なる整イデアル
の存在とは同値。
定理19.4
1) デデキント環 は整閉ネタ―環で、その素イデアルは極大である。
2) 任意のイデアルは素イデアルのベキ積 の形に一意的に表される。
定理19.5
素イデアル による剰余環
は単項イデアル環である。
系19.6
任意の整イデアル に対し、
なる
がある。
命題19.7
入射 の引き起こす
において
。
定理19.8
1) 自由加群の部分加群には捩れがない。
2) 捩れがない有限生成加群 は階数有限の自由加群の部分加群と同型になる。
定理19.9
デデキント環 上の加群
については次は同値である。
1) 有限生成で捩れがない。
2) 有限生成で射影的である。
3) 有限個のイデアルの直和 と同型である。
系19.10
デデキント環上の有限生成加群 は
と有限生成射影加群の直和である。
系19.11
単項イデアル整域上の加群 について次は同値である。
1) 有限生成で捩れがない。
2) 有限生成で射影的である。
3) 階数有限の自由加群である。
定理19.12
デデキント環 のイデアルの直和
と
が
同型であるためには、 で
となることが
必要十分である。
定理19.13
単項イデアル整域 上の有限生成加群
は、
巡回加群の直和 と同型である。
ここに は
にとることができ、
そのようにするとき同伴性を除いて一意的に定まる。
定理19.14
を単項イデアル整域
上の階数
の自由加群、
を部分加群とする。
そのとき の基底
、
の元
で
が
の基底をなすものが存在する。
は前定理に述べた意味で一意的である。
§20 多元環
定理20.1 マシュケの定理
を位数
の有限群、
を標数が
と互いに素な体とする。
そのとき、 の
-加群による表現はすべて完全可約である。
すなわち、群環 は半単純である。
定理20.2
、
、
を
上の多元環とする。
もし、多元環準同型 があって、
の元と
の元が可換なら、多元環準同型
で
を満たすものが唯一つある。
もし、 が
と
によって生成されるなら、
は全射となる。
§21 次数多元環
定理21.1
から
上の多元環
への線形写像
は多元環準同型
に一意的に拡張される。
命題21.2
が
を基底とする自由加群であるならば、
は
の形の元全体を基底とする自由加群である。
命題21.3
命題21.4
が
を基底とする自由加群ならば、
について
、
について
は
の全体を基底とする自由加群である。
は階数
の自由加群である。
